Anfangswertproblem

30.05.2017, 13:03

TIANA10

Anfangswertproblem

Hallo! Ich brauche Hilfe:

Ich soll ein Anfangswertproblem lösen:

$\begin{eqnarray*} y'' = - (y')^2 (y + \frac{1}{y} ) , y(0)=1, y'(0)= \frac{1}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$

Ich habe $\begin{eqnarray*} y'=v(y) \end{eqnarray*}$ substituiert.

$\begin{eqnarray*} v'v = -v^2 (y+ \frac{1}{y} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \frac{dv}{dy} ( \frac{1}{v} ) = y + \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(v) = - \frac{y^2}{2} - ln(y) -c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v*e^c = \frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{e^y} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich aber nicht weiter.

30.05.2017, 14:34

grosserloewe

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RE: Anfangswertproblem
Wink

Hier hast Du einen Link dazu, das hier geht ganz genau so.

http://www.mathepedia.de/Spezielle_Loesungsmethoden.aspx

30.05.2017, 17:10

TIANA10

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Hallo, danke für den Link!
Ich habe mir das Beispiel dort angeschaut, verstehe aber noch immer nicht ganz, wie ich mit $\begin{eqnarray*} \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{e^y} \end{eqnarray*}$ weiterrechnen kann. Soll ich dort wieder substituieren?

30.05.2017, 18:40

grosserloewe

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Hallo,

ich habe da etwas anders:

$\begin{eqnarray*} v= e^{\frac{-y^2}{2} } *\frac{1}{y} *e^{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v= e^{\frac{-y^2}{2} } *\frac{1}{y} *C_{1} \end{eqnarray*}$

Leider darf ich in diesem Forum keine Komplettlösungen schreiben , ich habe das Ganze
schon mal berechnet.
(sonst werde ich in meinen Käfig gesperrt)

Big Laugh

Außerdem bist Du ja unregistriert, so das ich Dir keine PN schicken kann.

30.05.2017, 18:43

mYthos

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Zitat:

Original von TIANA10
...
Soll ich dort wieder substituieren?

Nein, nur noch mit Trennung der Variablen.
Nach der Substitution formen wir um zu

$\begin{eqnarray*} y'ye^{\frac{y^2}2} = c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} \cdot y \cdot e^{\frac{y^2} 2} = c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \cdot e^{\frac{y^2} 2} \dd y = c \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Nun integrieren, das Integral links "sieht" man schon ....

EDIT:
Ähhm, der Löwenpost war vorhin noch nicht da Big Laugh

Sollte ich mich etwa verrechnet haben?

mY+

30.05.2017, 18:52

grosserloewe

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die Zeile von mythos ist richtig:

$\begin{eqnarray*} y e^{\frac{y^2}{2} } dy= C dx \end{eqnarray*}$

Big Laugh

30.05.2017, 19:17

mYthos

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Ahh, doch!
Die verschiedenen Terme ergeben sich nur wegen Einarbeitung des positiven oder negativen Vorzeichens in die Konstanten, wobei bei den Konstanten auch deren Kehrwert verwendet werden kann.

Ich denke, wir verraten nicht zuviel, wenn wenigstens eine der 4 Lösungen teilweise (allgemein) angegeben wird

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt 2 \sqrt{\ln (cx + c_1)} \end{eqnarray*}$

Dies und die beiden Konstanten müssen (aus den beiden AWB!) berechnet werden, das ist ja noch die Challenge!

Diese Schreibweise ist die einfachste, sie unterscheidet sich etwas von der in WolframAlpha angegebenen, was eventuell zur Verwirrung beitragen kann.

Wir werden sicherlich nicht eingesperrt! Big Laugh

mY+

30.05.2017, 23:14

TIANA10

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Ahhh, alles klar, wegen dem e^ wird aus ln(y) nur noch y. Werde jetzt versuchen, damit c zu berechnen smile

30.05.2017, 23:22

TIANA10

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Also

$\begin{eqnarray*} c= e^{\frac{y^2}{2}} y y' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{y^2}{2}} = cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{2 ln(cx+d)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(0) = \sqrt{2 ln(cx+d)} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d= e^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Bin ich da schon mal auf dem richtigen Weg?

31.05.2017, 00:17

mYthos

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Ja, das ist richtig (dein d ist das bei mir angegebene c1)

mY+

31.05.2017, 01:59

TIANA10

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Danke. Ich habe dann $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{2 ln(cx+e^{\frac{1}{2}})} \end{eqnarray*}$ abgeleitet und bin auf $\begin{eqnarray*} c= \sqrt{ 2* ln( \sqrt{e} ) } \end{eqnarray*}$ gekommen. Bin ich damit dann schon fertig oder muss ich noch $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ nehmen, um auf das eigentliche c zu kommen?

31.05.2017, 02:57

mYthos

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Die Wurzel ist weiter zu vereinfachen!

$\begin{eqnarray*} \ln{\sqrt e} = \ln (e^{\frac 1 2}) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Wie lautet dann das Endresultat? Und die Wurzel hat zwei Vorzeichen!

mY+

31.05.2017, 03:04

TIANA10

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Oh, danke!
Also $\begin{eqnarray*} c= \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} y_1 = \sqrt{2 ln(cx+d)} = \sqrt{2 ln(x+e^{\frac{1}{2}} )} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2 = \sqrt{2 ln(-x+e^{\frac{1}{2}} )} \end{eqnarray*}$

31.05.2017, 11:41

mYthos

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.. und die andere Wurzel hat ja auch zwei Vorzeichen:

$\begin{eqnarray*} y_{1,2} = \sqrt{2 ln(\sqrt e \pm x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{3,4} = -\sqrt{2 ln(\sqrt e \pm x)} \end{eqnarray*}$

mY+

31.05.2017, 14:07

TIANA10

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Danke!

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