Newtonverfahren im Intervall wohldefiniert

30.05.2017, 13:36

definitivnichtnewton

Newtonverfahren im Intervall wohldefiniert

Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier eine Teilaufgabe:

f: [0,1] -> R, f(x) = e^x + x - 9/4

Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren für jeden Startwert x0 ? [0,1] wohldfiniert ist und gegen die eindeutige Nullstelle konvergiert.

Was bedeutet denn "wohldefiniert für jeden Startwert"?

Meine Ideen:
Ist sowas gemeint wie: Im Intervall muss f(x)!= 0, f'(x) != 0 und differenzierbar sein?
Habe dazu nichts für mich hilfreiches gefunden. ^^

30.05.2017, 17:20

mYthos

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Wenn du dir die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens ansiehst

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)}{f\ ' (x_n)} \end{eqnarray*}$

solltest du sogleich sehen, dass der Nenner nirgends Null werden darf und somit ein Teil deiner Ideen nicht stimmt.
Berechne den Bruch einmal für die gegebene Funktion und zeige, dass er für jeden Startwert aus dem gegebenen Intervall definiert ist ...

mY+

30.05.2017, 20:20

definitivnichtnewton

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Zitat:

Original von mYthos
Wenn du dir die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens ansiehst

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)}{f\ ' (x_n)} \end{eqnarray*}$

solltest du sogleich sehen, dass der Nenner nirgends Null werden darf und somit ein Teil deiner Ideen nicht stimmt.
Berechne den Bruch einmal für die gegebene Funktion und zeige, dass er für jeden Startwert aus dem gegebenen Intervall definiert ist ...

mY+

Erstmal zur Sicherheit: Mit != meine ich ungleich und nicht "!" über "=" und somit "soll gleich sein" Big Laugh

Bin gerade gedanklich viel beim Programmieren, ist mir nicht aufgefallen, dass das evtl. undeutlich sein könnte.

Dann muss ich also nur schauen, ob f'(x) im Intervall eine Nullstelle hat?

31.05.2017, 14:04

HAL 9000

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Betrachten wir eine differenzierbare Funktion $\begin{align*} f:\;\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{align*}$ mit folgenden Eigenschaften:

Zitat:

(1) Es ist $\begin{align*} f'(x)>0 \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ .

(2) $\begin{align*} f \end{align*}$ nimmt sowohl negative wie positive Werte an.

Da Differenzierbarkeit auch Stetigkeit impliziert, folgt aus (2) mit dem Zwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle. Nimmt man (1) hinzu ist klar, dass es nur diese eine Nullstelle gibt, nennen wir sie $\begin{align*} x^* \end{align*}$ . Haben wir zusätzlich die Eigenschaft

Zitat:

(3) $\begin{align*} f \end{align*}$ ist konvex

vorliegen, dann bedeutet dies für die in $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ startende Newton-Iteration

$\begin{align*} x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{align*}$

folgendes:

(a) Aus $\begin{align*} x^* < x_n \end{align*}$ folgt $\begin{align*} x^* \leq x_{n+1} < x_n \end{align*}$ .

(b) Es ist $\begin{align*} x_2 \geq x^* \end{align*}$ .

Der Nachweis von (a)(b) ist in wenigen Zeilen erledigt. Aus (b) ergibt sich dann, dass wir spätestens mit dem zweiten Folgenglied oberhalb der Nullstelle sind, und (a) heißt, dass wir uns von da ab monoton auf diese Nullstelle zu bewegen. Diese Monotonie+Beschränktheit ergibt die Konvergenz von $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ , und dieser Grenzwert kann nur $\begin{align*} x^* \end{align*}$ sein.

Die hier im Thread vorliegende Funktion $\begin{align*} f(x) = e^x+x-\frac{9}{4} \end{align*}$ hat diese drei Eigenschaften (1)(2)(3), was man problemlos zeigen kann.

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