Integrationsbeispiel, bin schon total am verzweifeln

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01.09.2004, 11:15	philipphaindl	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsbeispiel, bin schon total am verzweifeln Hallo ihr! Ich wiederhole gerade den AHS-Stoff und soll dieses Beispiel durch Substitution lösen. 3 Tage suche ich nun schon nach einer Lösung, bin aber anscheinend zu doof dafür. Bitte helft mir, weil ich sollte diese Dinge ab Oktober für die Uni wieder können. Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand dieses Beispiel mal durchrechnen könnte und erklären kann, was er wodurch und weshalb ersetzt. Das Beispiel ist nämlich durch Substitution zu lösen. Vielen, vielen Dank im Vorraus. Philipp $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~x^2(2x^3-5)^2~dx \end{eqnarray}$
01.09.2004, 11:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, daß der Faktor x² fast die Ableitung der inneren Funktion 2x³-5 von (...)² ist. Reicht das als Hilfe?
01.09.2004, 11:30	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution ist ja quasie die Umkehr der Differentiation durch die Kettenregel. Die Kettenregel besagt: g(f(x))' = f'(x) * g'(f(x)). Was man bei einer Substitution substituiert ist immer das f(x). Also: z = f(x). Noch ein Hinweis: f'(x) * g'( f(x) ) x^2 * (2*x^3 - 5)^2
01.09.2004, 11:49	philipphaindl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke, das hilft mir ein wenig weiter. Aber könnte irgendwer die genauen Schritte mal aufschreiben, wie ich zum Ergebnis komme. Daran happerts nämlich noch immer. Danke für die schnellen Antworten!
01.09.2004, 12:07	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, du weisst bei so einem Integral: $\begin{eqnarray} \int v'(x) \cdot f'(v(x)) dx = f(v(x)) + C \end{eqnarray}$ Jetzt ordnest du aus deinem Term die Funktionen zu: $\begin{eqnarray} v(x) = 2x^3 - 5 \quad \Rightarrow \quad v'(x) = 6x^2 \end{eqnarray}$ Ausserdem ist offensichtlich: $\begin{eqnarray} f'(v(x)) = (v(x))^2 \quad \Rightarrow \quad f(v(x)) = \frac{1}{3}(v(x))^3 \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nur noch ein paar Faktoren umbiegen: $\begin{eqnarray} \int x^2(2x^3-5)^2 dx = \frac{1}{6}\int 6x^2(2x^3-5)^2 dx = \frac{1}{6} \int v'(x) \cdot f'(v(x)) dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{6} f(v(x)) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}(2x^3 - 5)^3 = \frac{1}{18}(2x^3 - 5)^3 \end{eqnarray}$
01.09.2004, 12:40	philipphaindl	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, das hat mir echt sehr weitergeholfen. Das Einzige, was ich noch nicht ganz verstehe, ist, woher das 1/6 vorm Integral kommt. ?
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01.09.2004, 12:43	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich darf das Integral ja nicht verändern. D.h. ich darf praktisch nur mit 1 multiplizieren. Wenn ich also innerhalb des Integrals einen Faktor 6 zuwenig habe (wie in deinem Fall), dann muss ich den Faktor 1/6 rausziehen, damit das Integral nicht verfälscht wird. $\begin{eqnarray} \int x^2(2x^3-5)^2 dx = \int \frac{1}{6}\cdot 6 \cdot x^2(2x^3-5)^2 dx = \frac{1}{6} \int 6 x^2(2x^3-5)^2 dx \end{eqnarray}$ Die 6 kommt daher, weil v'(x) = 6x^2, aber in deinem Integral steht nur x^2. Man muss das Integral innen also mit 6 multiplizieren, damit die Form v'(x) * f'(v(x)) zustande kommt.
01.09.2004, 12:45	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus dem $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ wurde $\begin{eqnarray} \frac{1}{6}\cdot 6 \cdot x^2 \end{eqnarray}$ , damit vor der Klammer die innere Ableitung der Klammer steht ( $\begin{eqnarray} 6\cdot x^2 \end{eqnarray}$ ). $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ wurde dann vors Integral gezogen.
01.09.2004, 12:50	philipphaindl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke. Glaube jetzt hab ichs verstanden. Bin froh, dass es dieses Forum gibt, sonst hätte ich vermutlich noch länger krübeln müssen. Vielen Dank an Euch alle ! Phil

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