Residuensatz anwenden

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Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »
Residuensatz anwenden
Hallo Forum,

wäre toll, wenn mir jemand bei folgendem Beispiel weiterhelfen könnte.

Mithilfe des Residuensatzes ist das reelle Integral



zu berechnen.

Für den Residuensatz braucht man ja eine Funktion von nach , die zumindest eine isolierte Singularität hat (sonst hat man eine leere Summe). Ich seh nicht, wo ich diese Funktion herkriege..
Rauskommen soll übrigens .
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuensatz anwenden
Guckst Du da:

de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz#Trigonometrische_Funktionen
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuensatz anwenden
Danke für den Tipp. Ich habs jetzt gemacht wie bei deinem Link und komme auf das Integral



Als Singularitäten des Integranden krieg ich nur leider heraus und liegen ja am Rand der Einheitskreisscheibe , somit kann man hier den Residuensatz nicht anwenden.. Irgendwelche Ideen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuensatz anwenden
Zitat:
Original von Kegorus

Nein. Richtig eingesetzt ergibt sich .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist, wie streng methodenrein diese Aufgabe zu lösen ist. Wenn man das Integral zuvor reell vereinfacht, indem man verwendet, danach substituiert und wegen der Periodizität wieder auf das Intervall reduziert, erhält man:



Das letzte Integral läßt sich mit dem Residuensatz nach der Standardmethode "etwas einfacher" lösen.

Man kann diesen Ansatz auch komplex nachspielen, indem man mit der Parametrisierung



arbeitet. Bei der späteren Anwendung des Residuensatzes ist zu beachten, daß der Einheitskreis zweimal durchlaufen wird. Gemäß der ersten binomischen Formel hat man dann



und integriert über

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Vereinfachung war auch mein Favorit: Nur ein Residuum statt zwei, und zudem muss man sich nicht mit Wurzeln plagen. Augenzwinkern
 
 
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe!

Ich würde es lieber direkt schaffen, also mit zwei Residuen. Ich komme jetzt auch auf das Integral von HAL 9000, dann habe ich mir die Singularitäten des Integranden ausgerechnet. Dazu habe ich den Nenner 0 gesetzt und erhalte
.
Es handelt sich um einfache Polstellen.
Innerhalb des Einheitskreises sind nur die Singularitäten .

Die Residuen dieser beiden Singularitäten sind .

Also erhalte ich insgesamt für das zu berechnende Integral mit dem Residuensatz

.

Es sollte aber herauskommen, seht ihr wo den Fehler?
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Bruchrechnung!!!

Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Auweia ich bin schon zu lang am Beispiele machen danke xD
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Viel einfacher geht es mit dem doppelt positiv durchlaufenen Einheitskreis:



Hierfür ist



Mit ist daher



Einerseits gilt daher, wenn man wie oben parametrisiert:



Andererseits kann man das komplexe Integral mit dem Residuensatz berechnen. Dazu bestimmen wir die Pole im Innern des Integrationswegs:



Der einzige relevante Pol ist bei . Das Residuum ist



Somit gilt:

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