Integralsatz von Gauß

30.05.2017, 15:59	MatheHilfe5423	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralsatz von Gauß Berechnen Sie mit dem Satz von Gauß für $\begin{eqnarray} v(x,y,z)= (zx, zy, xy)^T \end{eqnarray}$ das Integral $\begin{eqnarray} \int_F \int v dO \end{eqnarray}$ , wobei F die Oberfläche des Bereichs im 1. Quadranten ist, der von der Ebene x+3y+2z=6 begrenzt wird. Nach dem Satz von Gauß brauche ich zuerst div v. Das wäre $\begin{eqnarray} u_x + v_y + w_z = z+z=2z \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \int \int_D \int div v dx dy dz = \int \int_D \int 2z dx dy dz \end{eqnarray}$ Ich habe aber Probleme mit den Integralgrenzen und weiß nicht ganz, wie ich die aus x+3y+2z=6 berechnen kann. Könnte mir jemand bitte helfen?
30.05.2017, 22:26	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge, die von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ begrenzt wird, wird durch die Bedingungen $\begin{eqnarray} 0\leq x, 0\leq y, 0\leq z, x+3y+2z\leq 6 \end{eqnarray}$ beschrieben. Um über diese Menge integrieren können, ist es am einfachsten, wenn man diese als Normalbereich gegeben hat, d.h. $\begin{eqnarray} \{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid a\leq x\leq b, f_1(x)\leq y\leq f_2(x), g_1(x,y)\leq z\leq g_2(x,y)\} \end{eqnarray}$ mit zu bestimmenden Funktionen $\begin{eqnarray} f_1, f_2, g_1, g_2 \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} 0\leq y, 0\leq z \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [0,6] \end{eqnarray}$ liegen; d.h. $\begin{eqnarray} a=0, b=6 \end{eqnarray}$ . Hast du eine Idee, wie wir die anderen Grenzen bestimmen können?
31.05.2017, 02:03	MatheHilfe5423	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht wirklich. Vielleicht kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray} x + 3y \leq 6 \end{eqnarray}$ gelten muss. $\begin{eqnarray} \frac{x}{3} + y \leq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y \leq 2 - \frac{x}{3} \end{eqnarray}$ Und dann würde y zwischen 0 und $\begin{eqnarray} 2 - \frac{x}{3} \end{eqnarray}$ liegen. Bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist.
31.05.2017, 09:25	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Sorge; das ist richtig.

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