Isoklinen

30.05.2017, 16:31

456789Analysis987654

Isoklinen

Ich soll für die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y'= x^2 + y^2 -1 \end{eqnarray*}$ das zugehörige Feld von Linienelementen mit einigen Lösungskurven skizzieren, indem ich die Isoklinen y'= -1 , -1/2 , 0, 1 heranziehe.

$\begin{eqnarray*} y' = x^2 + y^2 -1 = -1 \Rightarrow y^2 = - x^2 \Rightarrow y = \sqrt{ - x^2 } \end{eqnarray*}$

Das kann ich ja nicht zeichnen. Was mache ich falsch? Wäre es einfacher, Polarkoordinaten zu verwenden?

30.05.2017, 16:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von 456789Analysis987654
$\begin{eqnarray*} y' = x^2 + y^2 -1 = -1 \Rightarrow y^2 = - x^2 \Rightarrow y = \sqrt{ - x^2 } \end{eqnarray*}$

Passender wäre:

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 -1 = -1 \Rightarrow x^2+y^2 = 0 \Rightarrow x=0,y=0 \end{eqnarray*}$ smile

Zitat:

Original von 456789Analysis987654
Wäre es einfacher, Polarkoordinaten zu verwenden?

Kannst du machen, aber eigenlich sieht man es auch so:

Für festen Wert $\begin{align*} y' \end{align*}$ entspricht $\begin{align*} y'=x^2+y^2-1 \end{align*}$ der Kreisgleichung $\begin{align*} x^2+y^2 = r^2 \end{align*}$ mit Radius $\begin{align*} r=\sqrt{y'+1} \end{align*}$

30.05.2017, 17:44

456789Analysis987654

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Danke!

30.05.2017, 17:54

456789Analysis987654

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Also habe ich für y'=-1 einen Kreis mit Radius 0 (also nur einen Punkt bei 0?),
für $\begin{eqnarray*} y' = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einen Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ,
für y'=0 ist r=1 und für y'=1 ist $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

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