K-lineare Abbildung => Gruppenhomomorphismus

Neue Frage »

Kumpane Auf diesen Beitrag antworten »
K-lineare Abbildung => Gruppenhomomorphismus
Meine Frage:
Hallo, ich habe zwei Vektorräume V und W über einen Körper K gegeben. Die Behauptung ist , dass jede K-Lineare Abbildung von V -> W ein Gruppenhomomorphismus ist (V,+)->(w,+). Die erste Behauptung hab ich bereits bewiesen. Jetzt ist hier noch die Frage, ob es auch Beispiele für nicht K lineare Gruppenhomomorphismen gibt. Ich vermute einfach mal es gibt sie, denn ein dann müsste für die Abbildung keine Homogenität gelten, jedoch die Additivität. Wie zeige ich nun, dass es so eine Abbildung gibt oder wie finde ich ein Beispiel? Ich überlege schon etwas länger und finde jeweils nur Abbildungen die entweder beide Eigenschaften haben oder keine davon...

Es wird ebenfalls gefragt ob es solche Beispiele für andere Körper gibt z.B K=F3, K=Q, K=R und K=C. Könnte ich beispielsweise zeigen ob für einen bestimmten Körper gilt: Aus der Additivität folgt die Homogenität => Es existiert keine nicht K-Lineare Abbildung? Und wenn ja, wie beweise ich das?

Bin offen für Lösungsvorschläge oder Tipps.

MfG

Compadre

Meine Ideen:
siehe oben
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich nicht irre, sollte für Abbildungen mit für alle folgendes gelten (mit als -Vektorraum):
  • Falls endlich, ist eine solche Abbildung immer -linear.
  • Auch im Fall kann man das zeigen.
  • Falls , gibt es solche Abbildungen, die nicht stetig und damit nicht -linear sind (siehe Cauchys
    che Funktionalgleichung
    ).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine sehr interessante Frage. Für den komplexen Vektorraum ist additiv. Betrachte , daran sieht man, dass nicht homogen ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »