DGL lösen

30.05.2017, 19:39

Lakritzschnecke

DGL lösen

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme und geben Sie jeweils das maximale
Intervall an, auf dem die Lösung existiert.

$\begin{eqnarray*} (2+5t^2)\dot{x} + t(1+x^2) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x(0)=x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Lösung:

Das ganze kann man mit Trennung der Variablen lösen und erhält dann:

$\begin{eqnarray*} x(t) = tan \left( arctan(x_0) - \frac{1}{10} ln(2+5t^2) + \frac{ln(2)}{10} \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist aber ja noch die Frage, für welche $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ das ganze überhaupt existiert. Der Tangens besitzt ja Definitionslücken an jeder Stelle $\begin{eqnarray*} k\cdot \frac{\pi}{2},\quad k\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Nun hätte ich berechnet, wann gilt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}< arctan(x_0) - \frac{1}{10} ln(2+5t^2) + \frac{ln(2)}{10} < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte aber dann jeweils doppelte $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ werte.

So gilt z.B.

$\begin{eqnarray*} arctan(x_0) - \frac{1}{10} ln(2+5t^2) + \frac{ln(2)}{10} = -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} t_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{2}{5} e^{10 arctan(x_0) + 5\pi - \frac{2}{5} } } \end{eqnarray*}$ .

Laut Musterlösung wäre genau dies nun die Lösung für das AWP auf dem Existenzintervall $\begin{eqnarray*} (t_1, t_2) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} t_0=0 \end{eqnarray*}$

und mir wird grade nicht so richtig klar warum ich nur untersuche für welche $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Werte die Gleichung $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ wird.

Ich hätte ja genauso gut

$\begin{eqnarray*} arctan(x_0) - \frac{1}{10} ln(2+5t^2) + \frac{ln(2)}{10} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

betrachten können und hätte nun ein anderes Ergebnis bekommen, da sich das Vorzeichen bei Pi ändert.

Warum hab ich nun also mein Existenzintervall damit bereits bestimmt?

Mfg. Laktritzschnecke

31.05.2017, 09:45

10001000Nick1

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Eigentlich musst du beide Grenzen betrachten.
Es gilt aber $\begin{eqnarray*} \arctan(x_0)-\frac{1}{10}\ln(5t^2+2)+\frac{1}{10}\ln(2)<\arctan(x_0)<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ; deswegen liefert nur die untere Grenze $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ eine Einschränkung.

(Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \arctan(x_0) - \frac{1}{10} \ln(2+5t^2) + \frac{\ln(2)}{10} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ hat also überhaupt keine Lösung.)

Meine Lösung sieht da übrigens etwas anders aus (-2/5 steht nicht im Exponenten):
$\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{\frac 25\, e^{10\arctan(x_0)+5\pi}-\frac 25} \end{eqnarray*}$
(Interessant wäre auch noch, ob man damit wirklich immer zwei reelle Zahlen erhält, also ob der Term unter der Wurzel negativ werden kann. Es könnte ja sein, dass man für bestimmte Werte von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein unbeschränktes Existenzintervall hat.)

31.05.2017, 17:03

Lakritzschnecke

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Vielen dank 10001000Nick1 für die schnelle ausführliche Erklärung.

Zitat:

Interessant wäre auch noch, ob man damit wirklich immer zwei reelle Zahlen erhält, also ob der Term unter der Wurzel negativ werden kann. Es könnte ja sein, dass man für bestimmte Werte von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein unbeschränktes Existenzintervall hat.

Das stimmt natürlich. Wir wissen ja das $\begin{eqnarray*} \arctan(x_0) \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ liegt.

Der Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac 25\, e^{10\arctan(x_0)+5\pi}-\frac 25} \end{eqnarray*}$ für ist für $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ja grade $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Der a $\begin{eqnarray*} rctan(x_0) \end{eqnarray*}$ kann jetzt aber nur noch größere Werte annehmen. Da $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist muss für alle $\begin{eqnarray*} x\in (-\frac{\pi}{2}.\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ ja gelten $\begin{eqnarray*} e^x>1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist der Term unter der Wurzel in jedem Fall positiv und man bekommt zwei reelwertige Lösungen.

So wäre meine Argumentation dazu

Mfg. Lakritzschnecke

31.05.2017, 17:08

Lakritzschnecke

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Okay meine Aussage ist natürlich so nicht ganz korrekt. Was ich meinte war für $\begin{eqnarray*} \arctan(x_0) \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ , muss für $\begin{eqnarray*} \xi:=10 arctan(x_0) + 5 \pi >= 0 \end{eqnarray*}$ gelten. $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ wäre natürlich auch nach oben beschränkt.

Da die exp. Funktion streng monoton steigend ist muss $\begin{eqnarray*} e^\xi > 1 \end{eqnarray*}$ sein und damit der Term unter der Wurzel positiv.

Das andere Stimmt ja so wie ich es aufgeschrieben hab nicht

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