Supremum bestimmen

30.05.2017, 20:43

4123qqqw

Supremum bestimmen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} sup | ke^{-kx}| \end{eqnarray*}$ x aus [0,infinity]

Meine Ideen:
Kann mir jemand sagen ob meine Lösung x=2ln(-k)/k also sup f_k=f_k(2ln(-k)/k) richtig ist? Wolframalpha findet komischerweise kein Maximum.,

Danke

30.05.2017, 21:16

HAL 9000

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Du redest von $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in [0,\infty)} \left| ke^{-kx} \right| \end{eqnarray*}$ ?

Wenn Parameter $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ , so existiert dieses Supremum, sogar als Maximum: $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in [0,\infty)} \left| ke^{-kx} \right| = k \end{eqnarray*}$ .

30.05.2017, 21:19

4123qqqw

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Hmm ok komisch, denn jetzt habe ich ein Problem. Ich wollte mit dem Weierstraschen M-Test beweisen, dass die Reihe über die genannte Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, aber das tut sie für das Supremum k ja definitiv nicht. verwirrt

30.05.2017, 22:14

4123qqqw

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Kann mir jemand sagen was dann falsch ist? Die Reihe über dem Supremum muss ja kleiner als unendlich sein. verwirrt

31.05.2017, 07:37

HAL 9000

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Du redest von $\begin{align*} f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} ke^{-kx} \end{align*}$ ?

Das mit der gleichmäßigen Konvergenz ist doch Unsinn - die Reihe konvergiert ja nicht mal punktweise im Ursprung $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ . unglücklich

Überprüfe doch mal, ob du wirklich über die richtige Funktion sprichst!

31.05.2017, 09:21

4123qqqw

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Also ich soll zeigen dass sie stetig ist und das folgt ja wenn die lokal gleichmäßig konvergent ist, was läuft denn dann hier falsch? Muss sie gar nicht lokal integrierbar sein um stetig zu sein? Dann fände ich es aber schwierig die stetigkeit nachzuweisen
.

31.05.2017, 09:44

HAL 9000

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Ich weiß jetzt nicht, warum Guppi12 seinen Post von eben zurückgezogen hat, aber ich kann dem sinngemäß nur zustimmen:

Willst du nicht erstmal auf meinen Hinweis eingehen, dass die Reihe im Fall $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ gar nicht konvergiert? Damit machen doch die ganzen Bemühungen um gleichmäßige Konvergenz nicht den geringsten Sinn!

Die Vermutung ist, dass du dich verschrieben hast und eigentlich eine ganz andere Funktion gemeint ist. Poste also am besten die Originalaufgabenstellung, damit wir das klären können. Mit der Funktion von oben lohnt es sich nicht im geringsten weiter zu diskutieren! unglücklich

31.05.2017, 10:42

IfindU

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Wenn man anstelle von $\begin{eqnarray*} [0, \infty] \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann konvergiert die Funktionsfolge lokal gleichmäßig. Meinst du vlt das?

31.05.2017, 12:00

adq7272

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Wie ich bereits sagte soll ich nicht zeigen dass sie gleichmäßig konvergent ist sondern dass sie stetig ist und das folgt aus lokal gleichmäßiger Konvergenz was wiederum aus gleichmäßiger konvergenz folgt. Aber anscheind kann ich es über die Implikation nicht zeigen weil es nicht gleichmäßig konvergent ist (muss sie ja auch nicht ist ja klar war ja nur ein versuch von mir) dann muss ich jetzt lokale gleichmäßige konvergenz zeigen, was ich relativ schwierig finde.

31.05.2017, 12:03

qa1737

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Ifindu hat tatsächlich recht gemeint ist das offene Intervall von 0 bis unendlich. Ich habe dennoch Schwierigkeiten die gleichmäßige Konvergenz dafür zu zeigen, ist mein Sup richtig?

31.05.2017, 12:12

IfindU

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Dein Sup ist nicht einmal wohldefiniert, weil du den Logarithmus einer negativen Zahl bestimmen willst.

Lokal gleichmäßig heißt, du musst die gleichmäßige Konvergenz auf Intervallen der Form $\begin{eqnarray*} [a, b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < a < b \end{eqnarray*}$ zeigen. Da $\begin{eqnarray*} e^{-kx} \end{eqnarray*}$ monoton fällt, ist das Maximum in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

31.05.2017, 12:47

HAL 9000

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Hmm, da hat sich ja das Ziel von

Zitat:

Original von 4123qqqw
dass die Reihe über die genannte Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert

hin zu

Zitat:

Original von 4123qqqw (ergänzt)
Also ich soll zeigen dass sie auf $\begin{align*} (0,\infty) \end{align*}$ stetig ist

erheblich verschoben...

Zum Vergleich kann man auch einfach mal den Reihenwert $\begin{align*} f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} ke^{-kx} \end{align*}$ explizit (im Sinne summensymbolfrei) ausrechnen, für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ klappt das ja.

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