Tangens / Polarkoordinaten und Stetigkeit

31.05.2017, 15:13

dubbox

Tangens / Polarkoordinaten und Stetigkeit

Meine Frage:
Es sind eigentlich 2 ganz verschiedene Fragen, wollte aber keine 2 Themen aufmachen

1) Ich soll die Periode von $\begin{eqnarray*} tan(z), z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ bestimmen (falls möglich), jedoch haben wir über Perioden so ziemlich gar nichts definiert, nur das die Periode vom Sinus und Cosinus $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ist.

2) Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} 0 &\text{falls } x=y=0 \\ \frac {x^2y^2}{x^4+y^4} & \text{sonst.} \end{cases} \end{eqnarray*}$

i. Sind die beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} k_1(x)=f(x,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2(y)=f(0,y) \end{eqnarray*}$ stetig?
ii. Bestimmen Sie alle Punkte, in denen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig bzw. nicht stetig ist.

Meine Ideen:
Zu 1)

Hier hab ich keine Ahnung, ich weiß das die Periode vom Tangens $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist, jedoch wie ich das zeige keine Ahnung. Das einzige was mir einfällt wäre es über die Gleichheit vom Sinus und Cosinus alle $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Da immer wenn die beiden sich schneiden, der Tangens bei 1 liegt. Aber das allein zeigt ja keine Periodität?

Zu 2)

i. Hier bin ich wie folgt vorgegangen, es gilt $\begin{eqnarray*} k_1(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_1(x), x\not = 0: k_1(x)=\frac {x^2\cdot0}{x^2+0}=0 \end{eqnarray*}$ selbes gilt für $\begin{eqnarray*} k_1(y) \end{eqnarray*}$ , beide sind sowieso immer konstant $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ somit sind beide stetig.

ii. Das größte Problem ist wohl der Satz, alle Punkte, in denen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig bzw. nicht stetig ist. Wie bestimme ich denn alle unstetigen bzw. stetigen Punkte?

Ansonsten geht das wohl über das mit den Polarkoordinaten aber bin mir unsicher. Ich würde $\begin{eqnarray*} x=r\cdot cos(\alpha), y=r\cdot sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ setzten, daraus folgt

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac {x^2y^2}{x^4+y^4} \Rightarrow f(r\cdot cos(\alpha),r\cdot sin(\alpha)) = \frac {r^4 \cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}{r^4}=cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nur nicht ob ich das so machen darf und ob das Ergebnis dann verändert wird wenn ich es zurückformen würde. So wäre ja eine Lücke im Graph von $\begin{eqnarray*} x=y=0 \rightarrow x,y \not = 0 \end{eqnarray*}$ da
$\begin{eqnarray*} f(r\cdot cos(\alpha),r\cdot sin(\alpha)) = \begin{cases} 0 &\text{falls } x=y=0 \\ 1 & \text{sonst.} \end{cases} \end{eqnarray*}$

31.05.2017, 15:21

klarsoweit

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RE: Tangens / Polarkoordinaten und Stetigkeit

Zitat:

Original von dubbox
ii. Das größte Problem ist wohl der Satz, alle Punkte, in denen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig bzw. nicht stetig ist. Wie bestimme ich denn alle unstetigen bzw. stetigen Punkte?

Nun ja, außerhalb vom Nullpunkt läßt sich die Stetigkeit relativ schnell nachweisen. smile

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} f(r\cdot cos(\alpha),r\cdot sin(\alpha)) = \frac {r^4 \cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}{r^4} \end{eqnarray*}$

Wieso gilt dieses? verwirrt

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$

Wieso gilt dieses? verwirrt

31.05.2017, 15:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
jedoch haben wir über Perioden so ziemlich gar nichts definiert

Auch das wenige könnte uns vielleicht voranbringen

Normalerweise ist "Periode" jede Zahl $\begin{align*} T\neq 0 \end{align*}$ mit der Eigenschaft $\begin{align*} \tan(z+T) = \tan(z) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} z \end{align*}$ , im Falle komplexer Funktionen kann dann $\begin{align*} T \end{align*}$ auch komplex sein.

Was du meinst, ist vermutlich "kleinste Periode", aber was versteht man genau darunter hier im komplexen Fall? (Vielleicht kennt sich einer mit derartigen Begriffsfeinheiten hinsichtlich Periodizität im komplexen aus - bitte melden).

Aus der Periodizität von $\begin{align*} \sin \end{align*}$ und $\begin{align*} \cos \end{align*}$ mit $\begin{align*} T=2\pi \end{align*}$ folgt via $\begin{align*} \tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)} \end{align*}$ sofort, dass auch $\begin{align*} \tan \end{align*}$ diese Periode $\begin{align*} T=2\pi \end{align*}$ besitzt. Was nicht heißt, dass dies auch die kleinste Periode (was auch immer das ist, s.o.) ist - und tatsächlich:

Wegen $\begin{align*} \sin(z+\pi)=-\sin(z) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \cos(z+\pi)=-\cos(z) \end{align*}$ ergibt sich, dass bereits die Hälfte $\begin{align*} T=\pi \end{align*}$ eine Periode von $\begin{align*} \tan(z) \end{align*}$ ist.

Ein anderer Zugang: Es ist $\begin{align*} \tan(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}} = \frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1} = 1-\frac{2}{e^{2iz}+1} \end{align*}$ .

Aus der $\begin{align*} 2\pi i \end{align*}$ -Periodizität der komplexen Exponentialfunktion folgt damit direkt die $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -Periodizität der Tangensfunktion.

01.06.2017, 08:21

dubbox

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Erst mal alles alles Gute Klarsoweit! Hab grad gelesen du hast Geburtstag!

$\begin{eqnarray*} cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$ nennt sich der Trigonometrische Pythagoras, https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrischer_Pythagoras steht bei uns so im Script. Das gilt auch für Sinus/Cosinus Hyperbolicus zumindest in den Reellen Zahlen.

Mit diesem Werkzeug ergibt

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac {x^2y^2}{x^4+y^4} \Rightarrow f(r\cdot cos(\alpha),r\cdot sin(\alpha)) = \frac {r^4 \cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}{r^4\cdot cos^4(\alpha)+ r^4\cdot sin^4(\alpha)}=\frac {r^4 \cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}{r^4\cdot cos^2(\alpha) \cdot sin^2(\alpha)\cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}=cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich da keinen Fehler eingebaut habe. Kenne nur die Faustregel, dass wenn das so eine Form hat, und unten die Potenzen gleich sind, lohnen sich Polarkoordinaten meistens, da nur $\begin{eqnarray*} r^n \end{eqnarray*}$ übrig bleibt.

Zu HAL9000
Wir haben zur Periodität nur das von dir Erwähnte $\begin{eqnarray*} tan(z+T)=tan(z) \end{eqnarray*}$ im Komplexen definiert. Es geht um die kleinste Periode, die Periode die also Teiler für alle anderen möglichen Perioden ist.

Zitat:

Wegen sin(z+À)=−sin(z) sowie cos(z+À)=−cos(z) ergibt sich, dass bereits die Hälfte T=À eine Periode von tan(z) ist.

Wie komme ich darauf? Ich denke das ist genau das was ich brauche! Da wir die Periodität der komplexen Exponentialfunktion noch nicht definiert haben.

01.06.2017, 09:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von dubbox
Erst mal alles alles Gute Klarsoweit! Hab grad gelesen du hast Geburtstag!

Danke sehr. Prost

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$ nennt sich der Trigonometrische Pythagoras, https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrischer_Pythagoras steht bei uns so im Script.

Der Satz ist mir prinzipell bekannt, allerdings nur in dieser Form: $\begin{eqnarray*} cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

01.06.2017, 09:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
Das gilt auch für Sinus/Cosinus Hyperbolicus zumindest in den Reellen Zahlen.

Und auch das nicht in genau derselben Form als Summe, sondern als Differenz $\begin{align*} \cosh^2(\alpha) ~{\color{red}-}~\sinh^2(\alpha) = 1 \end{align*}$ , und das für beliebige komplexe Zahlen $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ .

Zitat:

Original von dubbox
Es geht um die kleinste Periode, die Periode die also Teiler für alle anderen möglichen Perioden ist.

Das mag im Reellen klar sein - im Komplexen sind die Dinge komplizierter: Betrachten wir etwa die Funktion

$\begin{align*} f(z) = \sin(\operatorname{Re}(z)) + \sin(\sqrt{2}\operatorname{Im}(z)) \end{align*}$

Diese Funktion hat z.B. die Perioden $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ sowie auch $\begin{align*} \sqrt{2}\pi i \end{align*}$ . Was bitte ist nun die "kleinste Periode" dieser Funktion? Und inwieweit ist die ein Teiler für alle anderen möglichen Perioden dieser Funktion? Augenzwinkern

Ich hab mir schon was dabei gedacht, als ich meine Zweifel an dem Begriff oben anmeldete.

01.06.2017, 10:10

dubbox

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Entschuldige, das mit der Summe im trigonometrischen Pythagoras hab ich falsch aufgeschrieben ist natürlich richtig, dennoch sollte zumindest gelten

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac {x^2y^2}{x^4+y^4} \Rightarrow f(r\cdot cos(\alpha),r\cdot sin(\alpha)) = \frac {r^4 \cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}{r^4\cdot cos^4(\alpha)+ r^4\cdot sin^4(\alpha)}=\frac {r^4 \cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}{r^4\cdot (cos^4(\alpha) + sin^4(\alpha))}=cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha) \end{eqnarray*}$ Sonst würde das mit den Polarstellen hier ja gar keinen Sinn ergeben oder? verwirrt

@HAL 9000

Verdammt Big Laugh

Also ich bin hier einfach überfragt. Wir haben die Perioden für Sinus und Cosinus auch einfach nur mit Wert gegeben, aber keinen Beweis sonst hätte ich das Verfahren dort beschreiben können... Das Problem ist ja auch das steht berechnen und nicht begründen oder soetwas. Im Komplexen kann man das ja auch nicht so einfach über die Schnittpunkte herleiten denke ich oder? Das man irgendwie zeigt Sinus und Cosinus schneiden sich alle $\begin{eqnarray*} T\cdot\pi \end{eqnarray*}$ .

01.06.2017, 11:22

HAL 9000

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$\begin{align*} \pi \end{align*}$ ist eine Periode von $\begin{align*} z\to \tan(z) \end{align*}$ , keine Frage. Und es lässt sich auch nachweisen, dass es außer $\begin{align*} k\pi \end{align*}$ für ganzzahlige $\begin{align*} k\neq 0 \end{align*}$ keine anderen Perioden dieser Funktion gibt. Dennoch zeigt mein Beispiel oben, dass der Begriff "kleinste Periode" für beliebige Funktionen $\begin{align*} f:\;\mathbb{C}\to \mathbb{C} \end{align*}$ einer Präzisierung bedarf, wie auch immer die aussehen mag bzw. ob es überhaupt möglich ist - ich weiß es auch nicht. Augenzwinkern

01.06.2017, 12:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac {x^2y^2}{x^4+y^4} \Rightarrow f(r\cdot cos(\alpha),r\cdot sin(\alpha)) = \frac {r^4 \cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}{r^4\cdot cos^4(\alpha)+ r^4\cdot sin^4(\alpha)}=\frac {r^4 \cdot cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha)}{r^4\cdot (cos^4(\alpha) + sin^4(\alpha))}=cos^2(\alpha)\cdot sin^2(\alpha) \end{eqnarray*}$

Und wohin entschwindet der Ausdruck $\begin{eqnarray*} cos^4(\alpha) + sin^4(\alpha) \end{eqnarray*}$ ?

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