Potenzreihe bestimmen

31.05.2017, 15:28

eni2208

Potenzreihe bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich soll die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ zu einer Potenzreihe um den Punkt 1 entwickeln und anschließend den Konvergenzradius bestimmen.
Anschließend dann damit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{sin\frac{\pi}{4}(n+1) }{2^(\frac{n+1}{2}) } \end{eqnarray*}$ berechnen.

Meine Ideen:
Ich habe erst mal an die geometrische Reihe gedacht. D.g.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1-(-z^2)} =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-z^2)^k =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k z^{2k} \end{eqnarray*}$
Ist das soweit richtig? Wie kann ich das für den 2. Teil benutzen?

31.05.2017, 16:45

Kegorus

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Hi, was du aufgeschrieben hast, ist die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0.

Wenn man um 1 entwickelt, sieht sie so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_n(z-1)^n \end{eqnarray*}$

31.05.2017, 17:07

eni2208

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Hmm... Dann vielleicht so: (Mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{w-z} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(z-z_{0} )^n}{(w-z_{0} )^{n+1}} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} =\frac{1}{2i} (\frac{1}{z-i} -\frac{1}{z+i} )= \frac{1}{2i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(i-1)^n}{(z-1)^{n+1}}- \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-i-1)^n}{(z-1)^{n+1}} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(i-1)^n-(-i-1)^n}{(z-1)^{n+1}} \end{eqnarray*}$ ?
Allerdings weiß ich dann nicht, wie ich weiter komme...

31.05.2017, 17:49

Matt Eagle

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RE: Potenzreihe bestimmen
Setze an mit:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1+x^2}=\frac 12\left(\frac 1{1-ix}+\frac 1{1+ix}\right) \end{eqnarray*}$

Dann betrachtest Du zunächst den ersten Summanden:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1-ix}=\frac 1{1-i-i(x-1)}=\frac 1{1-i}\cdot\frac 1{1-\frac i{1-i}(x-1)} \end{eqnarray*}$

und entwickelst jetzt den rechten Faktor in eine geom. Reihe.

Analog für den zweiten Summanden.

Anschließende kannst Du unter Berücksichtigung der Eulerschen Formeln zusammenfassen und solltest schließlich zu einem Ausdruck gelangen, der bereits eine gewisse Ähnlichkeit zur auszuwertenden Reihe aufweist.

31.05.2017, 20:09

eni2208

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Ok, vielen Dank. Ich weiß leider aber nicht, wie ich die Eulersche Formel darauf anwenden soll?!

31.05.2017, 20:38

Guppi12

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Wie weit bist du denn bisher gekommen? Was ist dein letzter Stand?

31.05.2017, 22:28

eni2208

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D.g.

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1-ix}=\frac 1{1-i-i(x-1)}=\frac 1{1-i}\cdot\frac 1{1-\frac i{1-i}(x-1)}=\frac{1}{1-i} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1-i}(x-1)^n= \frac{1}{({1-i})^2} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(x-1)^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1+ix}=\frac 1{1+i+i(x-1)}=\frac 1{1+i}\cdot\frac 1{1+\frac i{1+i}(x-1)}=\frac{1}{1+i} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+i}(x-1)^n= \frac{1}{({1+i})^2} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(x-1)^n \end{eqnarray*}$

Und dann insgesamt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}((\frac{1}{({1-i})^2} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(x-1)^n)+ (\frac{1}{({1+i})^2} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(x-1)^n))= \frac{1}{2}(\frac{1}{({1-i})^2} \frac{1}{({1+i})^2} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(x-1)^n) \end{eqnarray*}$

Oder?

31.05.2017, 22:45

eni2208

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Ab der Mitte ungefähr in der ersten und zweiten Zeile habe ich das i vergessen und das letzte kann man dann ja noch weiterzusammenfassen, dann wäre das:

$\begin{eqnarray*} \frac{i}{8} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(x-1)^n \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

01.06.2017, 10:11

Matt Eagle

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Nein, das ist falsch.

Richtig wäre z.B.:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{ \sin \left( \frac {3\pi}4 (n+1) \right) }{2^{ \frac{n+1}{2} }}(x-1)^n. \end{eqnarray*}$

Um dahin zu gelangen musst du sorgfältiger rechnen.

So ist z.B.:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{1-i}\cdot\frac 1{1-\frac i{1-i}(x-1)}=\frac 1i\sum_{n=0}^\infty\left(\frac i{1-i}\right)^{n+1}(x-1)^n=\frac 1i\sum_{n=0}^\infty \left(\frac 1{\sqrt{2}} e^{\frac {3\pi}4i}\right)^{n+1}(x-1)^n. \end{eqnarray*}$

01.06.2017, 10:46

HAL 9000

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Ein rein reeller Weg, der sich allerdings eines kleinen Erweiterungs-Tricks bedient:

$\begin{align*} f(z)=\frac{1}{1+z^2} \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} z_0=1 \end{align*}$ zu entwickeln entspricht ja dem Problem, $\begin{align*} g(z):=f(z+1) = \frac{1}{1+(z+1)^2} \end{align*}$ im Nullpunkt zu entwickeln. Nun ist

$\begin{align*} g(z) &= \frac{1+(z-1)^2}{(1+(z+1)^2)(1+(z-1)^2)} = \frac{1+(z-1)^2}{4+z^4} = \frac{2-2z+z^2}{4}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{z^4}{4}\right)} = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{4}z^2\right)\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4^n} z^{4n}\\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}z + \frac{1}{4}z^2 -\frac{1}{8}z^4 + \frac{1}{8}z^5 - \frac{1}{16}z^6 + \frac{1}{32}z^8 -\ldots \end{align*}$ .

P.S.: Im Hinblick auf

Zitat:

Original von eni2208
Anschließend dann damit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{sin\frac{\pi}{4}(n+1) }{2^(\frac{n+1}{2}) } \end{eqnarray*}$ berechnen.

ist diese Abkürzung natürlich nicht so wertvoll. smile

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