Differentialgleichung mit ln(u)

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31.05.2017, 16:56	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung mit ln(u) Hallo zusammen, ich habe Probleme beim Lösen folgender Anfangswertaufgabe: $\begin{eqnarray} u'(t) = -u(t)ln(u(t)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(0) = 0 \end{eqnarray}$ Mit Seperation der Variablen komme ich nicht weiter, weil ich dann $\begin{eqnarray} ln(v)^{-1} \end{eqnarray*}$ integrieren muss.... Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.
31.05.2017, 17:35	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Mit der Substitution $\begin{align} y=ln[u(t)] \end{align}$ kann man gut weiterrechnen für eine allgemeine Lösung. Ich sehe aber Definitionsprobleme für den Anfangswert.
31.05.2017, 17:42	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Was meinst du mit dem Definitionsproblem für den Anfangswert?
31.05.2017, 17:48	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Setze doch u(0)=0 mal in die DGL ein. Die Lösung für u(t), die man rechnerisch findet, kann den Anfangswert dann folgerichtig auch nicht erfüllen.
31.05.2017, 21:40	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Weil der ln für 0 nicht definiert ist?
01.06.2017, 12:05	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Ja. Abgesehen davon, falls Du die Aufgabe noch lösen willst, probier doch nun die Substitution.
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01.06.2017, 17:03	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Okay mein Versuch: $\begin{eqnarray} u'(t) = -u(t)ln(u(t)) \\ \\<br /> Substituiere \ y:= ln(u(t)) \\ \\<br /> \Rightarrow u'(t) = -u(t)y \\<br /> \Rightarrow \frac{u'(t)}{u(t)} = -y \\ \\<br /> Substituiere \ u(t):= v \\ \\<br /> \Rightarrow \frac{1}{v} = -y \\<br /> \Rightarrow \int_{}^{} \! \frac{1}{v} \, dw = \int_{}^{} \! -y \, dz \\ <br /> \Rightarrow ln(v) + c_{1} = -\frac{1}{2} y^{2} + c_{2} \\ \\<br /> \Rightarrow v = e^{-\frac{1}{2} y^{2} + c} \\ \\<br /> Ruecksubstituiere \\ \\<br /> \Rightarrow u(t) = e^{-\frac{1}{2} (ln(u(t))^{2} + c} \end{eqnarray}$
01.06.2017, 17:04	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Das bringt mich nicht wirklich weiter oder?
01.06.2017, 17:17	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Die Substitution verfolgt ja den Zweck, erst eine leichtere DGL für y zu lösen und dann u(t) durch Rücksubstitution zu erhalten. Daher würde ich so vorgehen: $\begin{align} y=ln[u(t)] \end{align}$ $\begin{align} y'=\frac{1}{u(t)}u'(t)=\frac{1}{u(t)}\left\{ -u(t)ln[u(t)]\right\} =-\frac{1}{u(t)}u(t) \cdot y \end{align}$ Jetzt sollte sich der Nebel lichten.
01.06.2017, 17:21	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Ich hätte es ohne Subs. gemacht: $\begin{eqnarray} \frac{du}{dt} = u(t)(-ln(u(t))) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{du}{ln(u(t))u(t) } = - dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{du}{ln(u(t))u(t) } = \int - dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(ln(u(t)))=-t +c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(t)= e^{e^{-t + c } } \end{eqnarray}$
01.06.2017, 17:37	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) @AndiStudent Ja diese Lösung stimmt im Allgemeinen, aber die Anfangswertbedinung u(0) = 0 wird dabei nicht erfült. Außerdem wird diese Art DGL zu lösen bei uns als "Physikalische Lösung" bezeichnet und ist leider nicht erlaubt... @klauss Dadurch gewinnt man zum Einen die Aussage $\begin{eqnarray} y'=-y \end{eqnarray}$ , aber der nächste logische Schritt mag mir nicht einfallen...
01.06.2017, 17:42	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Ja das stimmt. Was versteht ihr denn unter einer physikalischen Lösung?
01.06.2017, 17:44	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Vermutlich zielt die Aufgabe auf die triviale Lösung $\begin{eqnarray} u(t)=0 \end{eqnarray}$ ab. Was anderes fällt mir auch nicht ein. Es wird halt verlangt, dass man DGL schön mathematisch mit Substitution berechnet und keine dt´s du´s etc. rumschiebt.
01.06.2017, 17:47	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Die DGL $\begin{align} y'=-y \end{align}$ oder $\begin{align} y'+y=0 \end{align}$ kannst Du doch aber bestimmt lösen!
01.06.2017, 17:48	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Aso ist das gemeint Bei $\begin{eqnarray} y'=y \end{eqnarray}$ musst du aber trotzdem Seperation der Variablen machen und dann hast du wieder deine dt und du's
01.06.2017, 17:59	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) @klauss Ja natürlich ich habs, aber die Anfangswertbedingung passt genauso nicht, also wird wohl die trivale Lösung richtig sein. @AndiStudent Die hat man natürlich beim Integrieren, aber irgendwie geht es darum, dass man ohne Substitution nicht schreiben darf $\begin{eqnarray} u'(t) = \frac{du}{dt} \end{eqnarray}$ und dann das dt rüberzieht. Eine genaue Begründung weiß ich auch nicht, aber anders gibts Punktabzug.
01.06.2017, 18:01	AndiStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Naja dann ist es halt so
01.06.2017, 18:20	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit ln(u) Aber danke euch beiden für die Hilfe!!!

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