Ausdruck mit Unbekannten vereinfachen

31.05.2017, 22:36

Fragewurm

Ausdruck mit Unbekannten vereinfachen

Hallo,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{-2} - y^{-2} }{x^{-1} - y^{-1} } \end{eqnarray*}$

Mit welchem Ansatz lässt sich dieser Ausdruck vereinfachen, sodass man die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{x + y}{xy} \end{eqnarray*}$ erhält?

Gruß

31.05.2017, 22:51

moody_ds

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Jeweils Zähler und Nenner auf einen Hauptnenner bringen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} = \frac{b}{a*b} \end{eqnarray*}$

Und nochmal einen Blick auf die binomischen Formeln werfen.

Das würde mir jetzt spontan einfallen, vielleicht geht es auch schöner.

31.05.2017, 23:11

Bürgi

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RE: Ausdruck mit Unbekannten vereinfachen
Guten Abend,

substituiere $\begin{eqnarray*} x^{-1} = p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^{-1} = q \end{eqnarray*}$

Dann wird aus

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{-2} - y^{-2} }{x^{-1} - y^{-1} }~\longrightarrow ~ \frac{p^2- q^2}{p-q} \end{eqnarray*}$

welches mittels 3. binom. Formel gekürzt werden kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{p^2- q^2}{p+q} = p+q~\longrightarrow~\frac1x +\frac1y \end{eqnarray*}$

und das zusammenfassen mit dem HN = xy

... und ob das nun schöner ist verwirrt

31.05.2017, 23:23

moody_ds

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RE: Ausdruck mit Unbekannten vereinfachen

Zitat:

Original von Bürgi
$\begin{eqnarray*} \frac{p^2- q^2}{p+q} = p+q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{p^2- q^2}{p\textcolor{red}{-}q} = p+q \end{eqnarray*}$

oder?

Zitat:

Original von Bürgi
... und ob das nun schöner ist verwirrt

Tut sich irgendwie nicht viel Tanzen

31.05.2017, 23:33

Fragewurm

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Wenn es auf den Hauptnenner gebracht werden soll, ist es ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x²} - \frac{1}{y²} }{\frac{1}{x} - \frac{1}{y} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{y²}{x²y²} - \frac{x²}{x²y²} }{\frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{y²-x²}{x²y²} }{\frac{y-x}{xy} } \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es weiter?

Mit der 3. binom. Formel ist es

$\begin{eqnarray*} \frac{(p + q)(p-q)}{p-q} \end{eqnarray*}$ und durch das Kürzen von $\begin{eqnarray*} p - q \end{eqnarray*}$ im Zähler und Nenner erhält man die
$\begin{eqnarray*} p + q \end{eqnarray*}$ oder? Komme dann jedenfalls auf das richtige Ergebnis.

01.06.2017, 00:02

mYthos

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Zitat:

Original von Fragewurm

...

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{y²-x²}{x²y²} }{\frac{y-x}{xy} } \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es weiter?
...

Gut gemacht, bisher richtig! Jetzt löse einfach den Doppelbruch auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{(y^2-x^2)xy}{x^2y^2(y-x)} \end{eqnarray*}$

und kürze durch xy und (y-x)

fertig!

mY+

01.06.2017, 13:44

Fragewurm

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Besten Dank! Freude

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