Limes berechnen

01.06.2017, 11:31

Süssmuth

Limes berechnen

Meine Frage:
Komme bei folgender Frage nicht weiter ,,,

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2^{-5x}+2^{4x}}{logx+5*2^{3x}} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand weiterhelfen ?

Meine Ideen:
Über L'Hospital habe ich es versucht ... endet bei mir in einer Endlosschleife von Ableitungen .... Irgendwie müsste man wohl mit der 2 rumspielen ... Weiß aber auch nicht wie

01.06.2017, 11:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Identifiziere in Zähler wie Nenner jeweils den dominanten (d.h. am schnellsten wachsenden) Term, und klammere den aus. Der Restbruch konvergiert dann gegen einen festen Wert. Im Zähler ist $\begin{align*} 2^{4x} \end{align*}$ , im Nenner $\begin{align*} 2^{3x} \end{align*}$ der jeweils dominante Term.

Ein wenig Erfahrung gehört natürlich dazu, diese Terme zu identifizieren, so z.B. das Wissen um

- Exponentialfunktionen $\begin{align*} a^x \end{align*}$ mit $\begin{align*} a>1 \end{align*}$ wachsen schneller als Potenzfunktionen $\begin{align*} x^b \end{align*}$ ,
- Potenzfunktionen $\begin{align*} x^b \end{align*}$ mit $\begin{align*} b>0 \end{align*}$ wachsen schneller als Logarithmenfunktionen,

und ähnliches mehr.

01.06.2017, 12:08

Süssmuth

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm ... ok ich probiers mal ... danke für den hint

01.06.2017, 12:27

Süssmuth_22

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich bekomme erst einmal

$\begin{eqnarray*} 2^x*\frac{2^{-9x}+1}{\frac{logx}{2^{3x}}+5} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun den Limes anwende bekomme ich unendlich mal 1/5. Was wieder unendlich ergibt.

Stimmt das ?

01.06.2017, 12:40

G010617

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du zu deinem Ergebnis kommst, ist mir schleierhaft. Was soll das 2^x vor dem Bruch? verwirrt

Was bleibt denn übrig, wenn du mit 2^(4x) kürzt?

01.06.2017, 13:50

Süssmuth_234

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich präsentiere mal die ersten Schritte:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{-5x}+2^{4x}}{logx+5*2^{3x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{4x}(2^{-9x}+1)}{2^{3x}(\frac{logx}{2^{3x}}+5)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{x}* \frac{2^{-9x}+1}{\frac{logx}{2^{3x}}+5)} \end{eqnarray*}$

stimmt soweit etwas nicht ?

Dann habe ich gesagt 2^x konvergiert gegen unendlich. 2^-9x konvergiert gegen 0 und logx/2^3x konvergiert gegen 0 weil der Nenner schneller wächst. Anscheinend stimmt was nicht gemäß den Kommentaren smile

01.06.2017, 14:10

G010617

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe. Bring dir aber nichts.
Kürze nochmal mit 2^x?
Oder überlege direkt, was 2^x*(1/5) macht für x gg. unendlich?

01.06.2017, 14:38

Süssmuth_234

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp... ich bekomme, wenn ich 2^x kürzen will folgendes raus (ich setze an meiner letzten Zeile an):

...

$\begin{eqnarray*} \frac{2^x(2^{-9x}+1)}{2^x(\frac{logx}{2^{-2x}}+\frac{5}{2^x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{-9x}+1}{\frac{logx}{2^{-2x}}+\frac{5}{2^x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{logx}{2^{-2x}}} \end{eqnarray*}$

Da 2^-9x gegen o konvergiert; 5/2^x gegen 0 konvergiert und der Bruch mit logx gegen unendlich konvergiert.

Stimmt das jetzt so ? (Hoffentlich) Gott

01.06.2017, 14:54

Süssmuth_234

Auf diesen Beitrag antworten »

ääähhhm habe das Ergebnis vergessen. Insgesamt kommt dann "1 durch unendlich" also 0 raus.

Richtig so ?

01.06.2017, 14:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Süssmuth_234
...

$\begin{eqnarray*} \frac{2^x(2^{-9x}+1)}{2^x(\frac{logx}{2^{-2x}}+\frac{5}{2^x})} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{2^x(2^{-9x}+1)}{2^x(\frac{logx}{2^{4x}}+\frac{5}{2^x})} \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du nochmal an deiner Begründung feilen. smile

01.06.2017, 16:39

Süssmuth_234

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar ich sehe die Fehler soweit mal schauen ob es jetzt stimmt:

....

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2^{9x}}+1}{\frac{logx}{2^{4x}}+\frac{5}{2^{x}}} \end{eqnarray*}$

Nun ist es so, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{9x}} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2^{x}} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert

$\begin{eqnarray*} \frac{logx}{2^{4x}} \end{eqnarray*}$ nach Anwendung von L'Hospital gegen 0 konvergiert

Am Ende bekomme ich also den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$

Und das ergbit Unendlich

Passt es nun ?

01.06.2017, 16:46

G010617

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Warum nicht gleich so. smile

01.06.2017, 17:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Lass dich nicht verwirren: Das hier

Zitat:

Original von Süssmuth_22
Wenn ich nun den Limes anwende bekomme ich unendlich mal 1/5. Was wieder unendlich ergibt.

ist zwar nicht ganz astrein formuliert, von der Sache her aber richtig. Freude

D.h., der Term divergiert bestimmt gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ .

Zitat:

Original von G010617
Verstehe. Bring dir aber nichts.

Au contraire - es bringt sehr wohl was: Es gilt die leicht begründbare Aussage

(bestimmt divergent) * (konvergent mit Grenzwert ungleich Null) = (bestimmt divergent) .

Dabei haben die beiden "(bestimmt divergent)" dasselbe Vorzeichen, also $\begin{align*} \infty \end{align*}$ oder $\begin{align*} -\infty \end{align*}$ , wenn der Grenzwert im zweiten Term positiv ist.
Ist er hingegen negativ, so haben beide unterschiedliches Vorzeichen.

01.06.2017, 18:06

Süssmuth_234

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank an alle

Neue Frage »

Antworten »

Limes berechnen

Verwandte Themen