Stetigkeit einer irrationalen Zahlenmenge in stückweise definierter Funktion

01.06.2017, 12:18

henneskrecht

Stetigkeit einer irrationalen Zahlenmenge in stückweise definierter Funktion

Hallo,

wäre supernett, wenn mir dabei jemand helfen könnte:

Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{cases} \frac{1}{q}, falls \, x = \frac{p}{q} \,mit\, p \in \mathbb Z, q \in \mathbb N \,und\, \frac{p}{q}\, ausgekuerzt \, ist \\ 0 \, sonst. \end{cases} \end{eqnarray*}$

Beweisen sie, für alle $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \setminus \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist f stetig.

Hinweis: Beweisen Sie, dass es zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ in (x - 1, x + 1) nur endlich viele $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ geben kann, sodass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q} \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

01.06.2017, 12:48

HAL 9000

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Verstehst du denn, inwieweit der Hinweis beim Beweis hilft?

Die $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ - $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Definition der Stetigkeit sagt:

$\begin{align*} f \end{align*}$ ist im Punkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ stetig, wenn es für alle $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ gibt, so dass $\begin{align*} |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} |x-x_0|<\delta \end{align*}$ gilt.

Genau das wollen wir nun für $\begin{align*} x_0\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{align*}$ , d.h. irrationales $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ nachweisen, und der Hinweis ermöglicht es, da ein solches $\begin{align*} \delta \end{align*}$ zu finden.

01.06.2017, 12:57

henneskrecht

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An das Epsilon-Delta-Kriterium habe ich auch gedacht.

Mir ist aber die konkrete Anwendung nicht klar.

01.06.2017, 13:57

henneskrecht

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uups, hab meinen Fehler erkannt

01.06.2017, 13:59

HAL 9000

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Zu gegebenem $\begin{align*} x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{align*}$ und $\begin{align*} 0<\varepsilon<1 \end{align*}$ definiert man die Menge $\begin{align*} M := \left\{ \frac{p}{q} \in (x-1,x+1) \biggm| \frac{1}{q}\geq \varepsilon \right\} \end{align*}$ . Laut Hinweis (was aber noch zu beweisen ist!) ist diese Menge endlich. Wegen der Irrationalität von $\begin{align*} x \end{align*}$ gilt nun $\begin{align*} y-x\neq 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} y\in M \end{align*}$ (denn diese Elemente sind ja alle rational), und damit ist aber wegen der Endlichkeit von $\begin{align*} M \end{align*}$ auch $\begin{align*} \delta := \min_{y\in M} |y-x| \end{align*}$ eine positive reelle Zahl. Zusammen mit dem vorgegebenen $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ "passt" dieses so definierte $\begin{align*} \delta \end{align*}$ nun im Sinne der o.g. $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ - $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Definition der Stetigkeit - mach dir mal klar, wieso!

01.06.2017, 14:51

henneskrecht

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Vielen Dank! Einfach nur schön, der Beweis...
Ich muss jetzt also noch die Endlichkeit der Menge beweisen?

01.06.2017, 15:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von henneskrecht
Ich muss jetzt also noch die Endlichkeit der Menge beweisen?

Ja, das solltest du. Ich nehm dir jetzt einfach mal ab, dass du verstanden hast, wieso die obige $\begin{align*} \delta \end{align*}$ -Konstruktion das gewünschte liefert - wenn nicht, nachfragen!

01.06.2017, 22:21

henneskrecht

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Ist es nicht so, dass man irrationale Zahlen nicht als Bruch angeben kann?
Wenn also (endliche oder unendliche) Mengen an irrationalen Zahlen an Funktionsstellen in einem beliebigen Intervall zu finden sind, die per Definition nicht in der Form $\begin{eqnarray*} x=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ sein können, würde doch für alle irrationale x f(x) = 0 sein, also eine konstante Folge ergeben.
Und konstante Funktionen sind stetig.

01.06.2017, 22:47

HAL 9000

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Ich verstehe nicht, was du damit sagen willst: Nur weil $\begin{align*} f(x)=0 \end{align*}$ für irrationale $\begin{align*} x \end{align*}$ gilt, haben wir doch noch lange keine konstante Funktion vorliegen! Immerhin liegen die rationalen Zahlen dicht in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , und an diesen rationalen Stellen gilt $\begin{align*} f(x)\neq 0 \end{align*}$ .

01.06.2017, 23:24

henneskrecht

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RE: Stetigkeit einer irrationalen Zahlenmenge in stückweise definierter Funktion
Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ heißen. Sorry

01.06.2017, 23:55

henneskrecht

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Es tut mir leid, mein Verständnis geht gegen null....

Was ich verstanden habe: Man definiert eine Menge mit Zahlen, deren Funktionswerte den Abstand .
$\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ haben. Der Abstand der Funktionsstellen ist auf jeden Fall größer Null (wegen y-x > 0) und im Intervall der besagten Menge auch kleiner 1 (wegen x-1 und x+1) -> $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium

Das gegebene x nutzt man also jeweils nur, um eine rationale Zahl zu begrenzen?

02.06.2017, 07:49

HAL 9000

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Ok, offenbar bedarf es doch noch einer näheren Erläuterung: Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ enthält alle rationalen Zahlen $\begin{align*} y\in (x-1,x+1) \end{align*}$ mit der Eigenschaft $\begin{align*} f(y)~{\color{red}\geq}~ \varepsilon \end{align*}$ .

Indem wir $\begin{align*} \delta \end{align*}$ nun so definieren wie oben bedeutet das automatisch, dass alle rationalen Zahlen $\begin{align*} y \end{align*}$ mit $\begin{align*} |y-x|<\delta \end{align*}$ nicht in $\begin{align*} M \end{align*}$ liegen, es somit für diese Zahlen $\begin{align*} f(y) = |f(y)-0| = |f(y)-f(x)| < \varepsilon \end{align*}$ gilt. Bleiben noch die irrationalen Zahlen $\begin{align*} y \end{align*}$ mit $\begin{align*} |y-x|<\delta \end{align*}$ , aber für die gilt ja sowieso $\begin{align*} |f(y)-f(x)| = |0-0| = 0 < \varepsilon \end{align*}$ . Somit gilt für alle $\begin{align*} y \end{align*}$ mit $\begin{align*} |y-x|<\delta \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} |f(y)-f(x)| < \varepsilon \end{align*}$ , und das ist es ja, was wir für Stetigkeit nachweisen müssen.

02.06.2017, 09:04

henneskrecht

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Danke.
Jetzt hab ichs verstanden.
Ich hab, wie es scheint, bei meinen Überlegungen Funktionswerte und Funktionsstellen verwechselt.

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