Zwei Gleichungen ... oder so ähnlich :)

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Lazi Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Gleichungen ... oder so ähnlich :)
Meine Frage:
Hallo,

bin schon etwas aus der Mathematik heraus und stehe vor folgender Aufgabe. Leider weiß ich auch nicht wie diese Art von Rechnung heißt, ich skizziere es mal auf.

A=B
. .
. .
. .
X=Y
. .
. .
. .
C=D

A,B,C,D sind vorgegeben. A ist aufsteigend bis C. B ist absteigend bis D. X kann irgend ein Wert sein Zwischen A und C. Y ist gesucht.

Hier mal mit Zahlen als Beispiel:
10=75
11 .
12 .
. .
X=Y
. .
118 .
119 .
120=7



Meine Ideen:
Ich hatte mir vor längerer Zeit eine Formel gebastelt, die wie folgt aussah.
B-((X-A)x((B-D/(C-A))=Y
75-((15-10)x((75-7)/(120-10))=
Bei X=15 kam dann als Y der Wert 71,909 heraus, was auch gestimmt hat.

Leider kann ich nicht mehr meinen Gedankengang nachvollziehen und komme mit anderen Werten auch nicht mehr auf ein korrektes Ergebnis.

Die aktuellen Zahlen lauten:
0,0016 = 85,4797
. .
. .
. .
0,1619=Y
. .
. .
. .
0,2331=8,0840

Hoffe hier blickt jemand durch smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Gleichungen ... oder so ähnlich :)
Das nennt man Skalieren. Bei Dir wird die Strecke von 10 bis 120 (also 110) umskaliert auf die Strecke von 75 bis 7 (also -68).

Die 15 entspricht dann 5/110 der Strecke vom ersten bis zum letzten x-Wert. Diese 5/110 der zweiten Strecke gehst Du also vom ersten y-Wert weg und landest bei Deinem genannten Wert.

Nun übertrag das auf die neuen Zahlen.

Viele Grüße
Steffen
 
 
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, demnach müsste doch meine Formel von oben stimmen. Ich komme dann aber auf 31,8877. Es müsste aber 9,5629 sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazi
Ich hatte mir vor längerer Zeit eine Formel gebastelt, die wie folgt aussah.
B-((X-A)x((B-D/(C-A))=Y

Abgesehen von einigen fehlenden Klammern ist das richtig:



ist die Gleichung der Gerade durch die zwei gegebenen Randpunkte und , und sowas suchst du ja allem Anschein hier. Bezogen auf den reinen Datenhintergrund (ohne geometrische Bedeutung) kann man das auch unter dem Stichwort "lineare Interpolation" verbuchen, aber inhaltlich mathematisch macht das keinen Unterschied.

Zitat:
Original von Laszlo
Ich komme dann aber auf 31,8877. Es müsste aber 9,5629 sein.

Der erste Wert ist richtig, zumindest im Sinne dieser linearen Interpolation. Wieso es 9,5629 sein sollen, müsstest du mal näher erläutern. unglücklich
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal ein paar Zwischenlösungen.
A, B, C, D

Fett= der vorgegeben X Wert aus dem Beispiel

gesuchtes Ergebnis

0,001619 85,47974102
0,006476 33,64369884
0,014571 23,77393466
0,025904 19,01900178
0,040475 16,1379458
0,058284 14,14603505
0,079331 12,64465058
0,103616 11,44216398
0,131139 10,43514952
0,1619 9,562917279
0,195899 8,787523508
0,233136 8,084034452

Sinn meiner gesuchten Formel ist es eben unendliche Zwischenrgebnisse zu finden, anhand des X Wertes.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, es wird lichter.

Deine Wertepaare stellen gar keinen linearen Zusammenhang dar, wie HAL und ich annehmen mussten, da nur die zwei Außenpunkte gegeben waren. Dass die Kurve dazwischen nicht gerade ist, ist jetzt erst klar.

Diese Daten kann Excel am besten mit einer Potenzfunktion fitten. Und die würde ich Dir dann auch empfehlen.

EDIT: Oder Du wechselst in die logarithmische Welt, dann ergeben Deine Wertepaare wieder einigermaßen eine Gerade, die Du dann wie gewohnt interpolierst. Anschließend wanderst Du wieder in die lineare Welt zurück.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das müsste in beide Richtungen linear aufgebaut sein, ausser ich definiere liniear falsch, was auch sein kann smile

Hier mal etwas näher wie sich die Y Reihe aufbaut

1*A*B*10=Y1
2*A*B*9=Y2
3*A*B*8=Y3
4*A*B*7=Y4
5*A*B*6=Y5
usw.

Vielleicht denke ich aber auch viel zu kompliziert und um zu viele Ecken.
Einfaches Beispiel was man sich in der Praxis vorstellen kann und ein ähnliches Ergebnis bringt.

Je mehr ich kaufe desto größer ist der Rabatt, ohne Stufen.

Min. Rabatt ist Preisfaktor 1 (also kein Rabatt), maximaler Rabatt ist Preisfaktor 0,5
Kaufbar ist 1m² bis 100m²

1m²*m²Preis*Faktor1
....
100m²+m²Preis*Faktor0,5

Welcher Faktor wird berechnet wenn ich 10m² kaufe.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Laszlo
1*A*B*10=Y1
2*A*B*9=Y2
3*A*B*8=Y3


Das ergibt mit dem genannten A=0,001619 und B=85,47974102 die Werte 95,481; 103,481; 109,481 und so weiter, aber nicht die Zahlen von Dir. Wie hast Du die nun berechnet?

Zitat:
Original von Laszlo
Min. Rabatt ist Preisfaktor 1 (also kein Rabatt), maximaler Rabatt ist Preisfaktor 0,5
Kaufbar ist 1m² bis 100m²


Damit wären wir tatsächlich wieder beim linearen Modell.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Zitat:
Original von Laszlo
1*A*B*10=Y1
2*A*B*9=Y2
3*A*B*8=Y3


Das ergibt mit dem genannten A=0,001619 und B=85,47974102 die Werte 95,481; 103,481; 109,481 und so weiter, aber nicht die Zahlen von Dir. Wie hast Du die nun berechnet?



Ups, das Beispiel ist unglücklich gewählt, es hätte heissen müssen:
1*E*F*10=Y1
2*E*F*9=Y2
3*E*F*8=Y3
usw.

Habe A und B doppelt vergeben. Das Ganze ist ziemlich verschachtelt und schwer in einem hier darzustelllen. Aber alle Variablen sind immer linear, mal hoch mal runter. Somit müsste doch auch das Zwischenergebnis "Faktor Y" linear sein.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe das nun nochmal neu aufgebaut

Edit (mY+). Links zu externen Uploadseiten sind nicht erwünscht und werden entfernt.
Hänge statt dessen die Grafik an deinen Beitrag an!

[attach]44571[/attach]

Vereinfacht und mit anderen Werten, aber im Prinzip sollte man den linearen Aufbau erkennen.

Wie gehabt, gefragt ist Y, bei einem vorgegebenem X Wert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Laszlo
Doch, das müsste in beide Richtungen linear aufgebaut sein, ausser ich definiere linear falsch, was auch sein kann

Das muss es dann wohl sein: Deine Daten ergeben was ganz und gar nichtlineares:

[attach]44566[/attach]
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Big Laugh ja, da is nichts linear, da gebe ich Dir Recht. Der Fehler muss wohl irgendwo dazwischen liegen, denn ich gehe davon aus dass es linear sein soll.

Die Grafik im Post oben drüber zeigt es aber im Prinzip korrekt.
X ist linear und Y ist linear, alles dazwischen ist zweitranging und sollte nur den Weg zum Y verdeutlichen. Dann sollte auch die Formel von ganz am Anfang wieder funktionieren, oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tabelle wächst das x offenbar quadratisch (0,01;0,04;0,09 etc.), das y dagegen fällt linear (15;14;13 etc.).

Das ist also kein linearer Zusammenhang, sondern ergibt solch eine Funktion:



So ähnlich müsste man an Deine anderen Daten auch rangehen.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin für alle Vorschläge offen, die Möglichkeiten für die Umsetzung sind allerdings begrenzt. Die Formel muss in eine Zeile passen und darf nur aus ()+ -*/ bestehen. Ähnlich wie meine ganz am Anfang gepostete.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Also: es geht um die Daten, die Du gestern um 16:46 gepostet hast, richtig?

Da hab ich ja schon geschrieben, dass hier eine Potenzfunktion am besten passt. Hast Du die schon mal berechnet? Ist mit Excel nicht schwer.

Das heißt allerdings, dass wir uns über die Grundrechenarten erheben müssen. Eine "Hoch-Funktion" gibt's nicht in Deinem System?

Noch sinnvoller wäre es, wenn Du mal erklären könntest/dürftest/wolltest, wie Deine Daten entstanden sind. Denn es gibt bestimmt einen grundlegenden theoretischen Zusammenhang, auf den man aufbauen könnte.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, fangen wir ganz anders an. Es geht um einen möglichst exakte Kalkulation eines Produktpreises, welche dann zum Schluß automatisch berechnet werden soll anhand von m².

Die m² werden automatisch ausgelesen.

Hinzu kommen jedoch nun weitere Faktoren, die alle linear sind. Diese Faktoren habe ich probiert in einem einzigen Faktor zu vereinigen, dabei kam diese krumme Kurve heraus Big Laugh

Aber vielleicht kann man die auch ganz weg lassen, denn der letzendliche Preisverlauf ist annähernd linear. Ich habe mal stark gekürzt bzw. Werte zusammengefasst.

Die Berechnung sieht also ungefähr so aus.

E= linear aufsteigend
F= linear absteigend


m² * m²Preis * E * F = Preis

Der m² Preis bleibt gleich. E und F variieren bei jedem Artikel und haben immer unterschiedliche Anfangs und Endwerte. Ob das Sytem eine Hochfunktion unterstützt konnte noch nicht geklärt werden.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann eine multiplikative Verknüpfung mehrerer linearer Funktionen und ergibt somit eine Parabel.

Angenommen, die Quadratmeter gehen linear von einem bis zu einem , wäre die Formel



EDIT: m² in qm geändert, um Unklarheiten zu vermeiden

In Deiner Tabelle sehe ich aber, wie gesagt, dass die Quadratmeter eben nicht linear ansteigen, sondern quadratisch, die Variablen E und F sich dagegen linear ändern. Daher fürchte ich, wir sind immer noch nicht am Ende.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Quadratmeterangabe ist völlig frei. Da ist quasi jeder Wert möglich. Ich hatte nur 12 verschiedene m² Angaben aufsteigend frei erfunden um einen gewissen Bereich abzudecken. Diese habe ich wohl quadratisch aufsteigend ausgewählt. Es gibt da keine Abstufung, lediglich ein min was gegen Null geht und ein max.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie scheitert es in der Formel schon an einer linearen Funktion. Ich bekomme dort einfach andere Ergebnisse heraus. qm steigen doch immer quadratisch an wenn sei proportional vergrössert

Ich würde gerne nochmal zum Verständnis kleiner anfangen, mit nur einer einzigen lin. Funkt.
Angenommen, ich habe den Bereich von 0,0001m² -5m² der berechnet werden soll. Hinzu kommt ein einfacher m²Preis, angenommen 20€ und ein einziger linearer Faktor E absteigend.
Emin =10, Emax =1

Das wäre dann als min 0,0001 * 20 * 10
oder ebenals max 5 * 20 * 1


Preis=qm*qmPreis*(((qm-qmStart)/(qmEnde-qmStart))*(EEnde-EStart)+EStart)

Funktioniert das? Also zumindest mit dem Anfangs und Endwert kommen korrekte Ergebnisse heraus.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anfangs- und Endwerte stimmen bei dir hinsichtlich deiner Formel nicht.
Jedoch bilden die Werte von Pr in Abhängigkeit von qm eine Gerade

y = -36x + 200 [Pr = -36*qm + 200]

Erstelle dir das entsprechende Excel-Tabellenblatt wie gezeigt und verwende es als Ausgang zum Experimentieren damit.

[attach]44577[/attach]

mY+
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

So eine Formel hatte ich mir mit Excel schon eingegeben, allerdings noch um den Multiplikator qm ergänzt. Habe heute nun stundenlang herum probiert, ich komme zu keinem annähernd gutem Ergebnis.
Ändere ich Emin und Emax ändert sich ebenfalls die komplette Form der Kurve und auch die Endwerte liegen teils weit daneben.

Die gute Nachricht, das System das die Formel letztendlich verarbeiten soll kann anscheinend alles mögliche berechnen was sich in einer Formel definieren lässt. Leider habe ich davon keinen Plan mehr. Die letzte Potenzrechnung ist schon über 20 Jahre her smile sofern sich das damit überhaupt umsetzen lässt.

Ich habe die Ursprungsberechnung nun nochmals minimal verändert (+ statt *), so dass zumindest der Endwert stimmt.

qm * qmP + E *F

qm= 0-5m² Die Werte dazwischen sind frei. Ob 0 oder 0,0001 ist egal, falls es nicht 0 sein darf.
qmP= m² Preis fix
E= linear aufsteigend
F= linear absteigend

Ist Excel hierfür noch geeignet oder welches Programm bietet sich an um mit den Werten zu experimentieren?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche es mal mit Geogebra.
Dort kannst du deine Funktion direkt eingeben und für die (veränderbaren) Parameter Schieberegler erstellen.
Der veränderte Kurvenverlauf wird dabei in Echtzeit angezeigt, wenn ein Regler betätigt wird.

In Excel ist das prinzipiell auch möglich, meines Erachtens sind aber die Skalierung und Darstellung in GeoGebra einfach besser bzw. "schöner" Big Laugh

mY+
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab über die Feiertage noch mal nachgedacht. Könnte es sein, dass E und F gar keine Faktoren sind, sondern einfach weitere Kosten, die man normal dazuaddieren muss?

Damit würde sich die Formel zu



ändern.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Geogebra sagt mir nix, werde ich mir mal anschauen.

Zur Formel, im Prinzip ist es zwar schon ein Faktor, aber der hat ja auch einen Wert, ich könnte diesen also separat errechnen und dann die Formel mit + mal testen, klingt gut. Werde berichten...
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Die bisherigen Proberechnung bringen saubere Ergebnisse, scheint zu funktionieren. Ich habe nun separat den ursprünglichen Faktor in Zwischenwerte umgerechnet so, dass tatsächlich nur noch eine Addierung notwenig ist. Somit passt dann die letzt genannte Formel.

Vielen lieben Dank an alle die mitgedacht und sich eingebracht haben, hat mir wirklich sehr viel geholfen! Freude
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler




Ist es möglich dieser Formel eine Art Umkehrfunktion hinzuzufügen?

Die aktuelle Kurve ist in der angehängten Grafik rot dargestellt. Wenn man diese nun an dem Anfangs/Endpunkt spiegelt sollte die grüne Kurve heraus kommen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor wir uns daran setzen, eine Frage zur Sicherheit: die Horizontalachse soll die qm darstellen? Wie ist sie bemaßt? Und die Vertikalachse ist der Preis? Wie ist der bemaßt?

Denn die Formel ist, wenn man sie vereinfacht, eine Gerade der Form . Davon kann natürlich problemlos die Umkehrfunktion gebildet werden, also wieder eine Gerade. Aber ich bin nicht sicher, ob wir noch über dieselbe Funktion reden.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau,
x Achse ist die Fläche sie zeigt den Bereich qmStart bis qmEnd,
y wäre der Preis in €, laut Formel Preis(qm).


Bei der roten Kurve wäre das aber, je mehr Fläche desto teurer. Es soll ja aber sein, je mehr Fläche desto günstiger, das wäre dann die grüne Kurve. Also eine Art Rabatt.

Rein von der Konstruktion habe ich die rote Linie sowohl horizontal als auch vertikal gespiegelt, dann kam die Grüne heraus.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Laszlo
x Achse ist die Fläche sie zeigt den Bereich qmStart bis qmEnd,
y wäre der Preis in €, laut Formel Preis(qm).


Dann muss, wie gesagt, eine Gerade herauskommen und nicht solch eine gebogene Kurve. Daher die Frage: wie lautet die Formel, die zu Deinen Kurven führt, wirklich?

Zitat:
Original von Laszlo
Bei der roten Kurve wäre das aber, je mehr Fläche desto teurer. Es soll ja aber sein, je mehr Fläche desto günstiger, das wäre dann die grüne Kurve.


Nein, beide Kurven steigen ja, nur eben unterschiedlich. Der Preis geht also in beiden Fällen hoch: mehr Fläche, mehr Preis. Er steigt nur unterschiedlich, bei der roten geht er immer schneller hoch (etwa: doppelte Quadratmeter-vierfacher Preis), bei der grünen langsamer (etwa: doppelte Quadratmeter-anderthalbfacher Preis).
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler




Diese Formel ist das. Ich habe dann einfach 12 freie Werte gleichmäßig verteilt zwischen qmStart und qmEnd und diese stellen die rote Kurve dar. Ich denke die Kurve entsteht durch die qm, welche ja quadratisch ansteigen.

Beispiel: Ich habe eine Objekt 1m * 0,5m
Das vergrößere ich nun proportional bis max 3,75*1,875. Dann habe ich wieder 12 solcher Zwischenergenisse. Lasse ich mir die qm nun als Kurve darstellen ist diese identisch wie oeben die rote Preiskurve. Die Basis ist ja gleich, nur es wird noch Faktor E und F hinzu addiert. Somit hat der Preis dann auch die gleiche Kurve. Gewünscht ist aber eher "(etwa: doppelte Quadratmeter-anderthalbfacher Preis)", was dann der Rabatt zur Menge ist.

Länge Breite qm
1 0,5 0,5
1,25 0,625 0,78125
1,5 0,75 1,125
1,75 0,875 1,53125
2 1 2
2,25 1,125 2,53125
2,5 1,25 3,125
2,75 1,375 3,78125
3 1,5 4,5
3,25 1,625 5,28125
3,5 1,75 6,125
3,75 1,875 7,03125
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wird's langsam technisch und nicht mehr mathematisch.

Du hast in Excel also wahrscheinlich eine Spalte "Länge" und eine Spalte "Breite". Dann eine Spalte "Fläche" als Produkt von den beiden. Und schließlich eine Spalte "Preis" mit der Formel, die auf die Spalte "Fläche" zugreift.

Wenn Du nun eine Grafik über die Spalte "Preis" machst und als Diagrammtyp "Linie" wählst, wird das natürlich diese gebogene Kurve zeigen. Denn die x-Achse ist hier nicht "Fläche", sondern nur der laufende Index. Und zu diesem ist die Fläche und damit auch der Preis jedoch quadratisch.

Hier geht es aber um den Zusammenhang Preis-Fläche! Dazu musst Du Diagrammtyp "Punkt(XY)" wählen, nachdem Du die beiden Spalten "Preis" und "Fläche" markiert hast. Dann ergibt sich die Gerade, von der ich dauernd spreche.

Wenn Du jetzt noch einen Rabatt einarbeiten willst (damit diese Gerade allmählich an Steigung verliert) musst Du Dir überlegen, von wo bis wo der gehen soll. Also vielleicht kein Rabatt bei qmStart und 20% Rabatt bei qmEnde. Und das gibt dann wirklich einen Faktor, der in diesem Fall von 1,0 (=RabattStart) bis 0,8 (=RabattEnde) läuft und wie F und E über qm berechnet wird. Der wird dann mit dem berechneten Preis multipliziert.
Laszlo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank, dann hat doch alles gepasst. Der Fehler lag dann nur in der grafischen Auswertung die mich irritiert hat. Rein rechnerisch war es korrekt.
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