Bezüglich Euklidischer Metrik stetig

01.06.2017, 18:06	Analyisis123	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezüglich Euklidischer Metrik stetig Meine Frage: Hallo, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: Gegeben sei die Funktion f:R^3 -> R definiert durch: $\begin{eqnarray} f(x) =\frac{xyz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+ z^{2} } } falls (x,y,z) \neq (0,0,0) und 0 sonst \end{eqnarray}$ Ist f in (0,0,0) bezüglich der Euklidischen Metrik stetig? Meine Ideen: Also ich hätte das jetzt einfach mal wie sonst auch mit der Epsilo-Delta Definition für Steigkeit versucht, bin mir aber nicht sicher ob ich das bei der euklidischen Norm auch nehmen darf. Ich hätte jetzt gesagt: $\begin{eqnarray} \| f(x,y,z)-f(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \| =\|\frac{xyz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+ z^{2} } }-0 \| < delta \end{eqnarray}$ Weiß dann aber auch nicht wie ich damit weitermachen könnte.... Vielen Dank für Hilfe im Voraus
01.06.2017, 18:21	Lech	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bezüglich Euklidischer Metrik stetig Hallo, du darfst diese Definition verwenden; sie erscheint mir hier aber etwas "unhandlich". Kennst du eine andere Definition für Stetigkeit (etwa mit Folgen?) gruß lech
01.06.2017, 18:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei o.B.d.A. $\begin{align} z \end{align}$ die betragsgrößte der drei Komponenten $\begin{align} x,y,z \end{align}$ , dann ist $\begin{align} z\neq 0 \end{align}$ und man kann abschätzen $\begin{align} \left\| \frac{xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \right\| \leq \left\| \frac{xyz}{\sqrt{z^2}} \right\| = \|xy\| \end{align}$ , das sollte die Sache klären.
01.06.2017, 19:26	Analysis123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal danke an euch Beide Also kennen würde ich noch das Folgenkriterium: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(x_{0}) \end{eqnarray}$ Allerdings weiß ich nicht wirklich wie ich jetzt eine Folge in der euklidischen Metrik finden könnte. Kann ich dann zum Beispiel sagen $\begin{eqnarray} x_{n} =(n,1,1) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty } \frac{n}{\sqrt{n^{2} +2} } \leq \lim_{n \to \infty } \frac{n}{\sqrt{n^{2} } } = 1 \neq f((0,0,0)) = 0 \end{eqnarray}$ HAL 9000, die Abschätzung versteh ich, allerdings nicht so wirklich wie ich damit weiter komm... Ich brauch ja $\begin{eqnarray} \| x-x_{0} \| < delta , also \| (x,y,z) - (0,0,0) \| < delta \end{eqnarray}$ . Finden muss ich ja irgendeinen Ausdruck mit delta den ich gleich epsilon setzen kann. Aber hier ist ja jetzt das z noch da und durch die Abschätzung bei \|xy\| nicht mehr und ich hab das bis jetzt immer so gemacht, dass ich irgendwas in dem \|f(x) -f(x0) \| ausklammer und dann auf das \|(x,y,z)\| < irgendwas * delta komm...
01.06.2017, 23:05	Lech	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schön, dass du das Folgenkriterium kennst. Dabei musst du die Konvergenz aber für jede Nullfolgezeigen. Deine Folge ist leider keine Nullfolge. Gruß korbinian
02.06.2017, 18:26	Analysis123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja stimmt Also ich habe jetzt lange gesucht, aber keine Nullfolge gefunden, für die der Grenzwert dann nicht auch 0 ist. Da ich nicht weiß wie ich das allgemein für jede Nullfolge beweisen soll, habe ich es doch nochmal mit Epsilo-Delta-Stetigkeit versucht, weiß aber nicht ob das so stimmt: Sei epsilon > 0. Es gilt: $\begin{eqnarray} \|(x,y,z)-(0,0,0) \| = \sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } < delta \end{eqnarray}$ Sei jetzt epsilon = delta und z das größte der drei Werte. Damit: $\begin{eqnarray} \|f(x,y,z)-f(0,0,0) \| = \| \frac{xyz}{\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} }} \| \leq \| xy \| < \| (x,y,z)\| = epsilon \end{eqnarray}$ Und somit das ganze in (0,0,0) stetig. Stimmt das?
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