Diskrepanz bei Poisson Klammern für konjugierte Felder

01.06.2017, 18:52

schnudl

Diskrepanz bei Poisson Klammern für konjugierte Felder

Ich glaube ich kenne mich mit Poisson-Klammern in der klassischen Feldtheorie nicht aus.
Ich bin bloß allgemeiner Physiker, und habe daher nur ein eingeschränktes Mathematikverständnis.

Trotzdem möchte ich die Frage hier posten, da ich es endlich einmal verstehen will...

Also:

In der Feldtheorie wird $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}(\psi(\vec r), \pi(\vec r)) \end{eqnarray*}$ als Hamiltondichte eingeführt. Die Hamiltonfunktion
ist dann ein Funktional:

$\begin{eqnarray*} H = \int \dd^3r \mathcal{H} \end{eqnarray*}$

welches als Funktion von $\begin{eqnarray*} \psi(\vec r) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi(\vec r) \end{eqnarray*}$ aufzufassen ist.

Nun wird eine Funktionalableitung definiert über

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta H}{\partial \psi(\vec r)} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \lbrace H(\psi(\vec r')+\epsilon \delta(\vec r - \vec r'), \pi(\vec r')) - H(\psi(\vec r'), \pi(\vec r'))\rbrace \end{eqnarray*}$

Heißt das nun, die Funktionalableitung ist eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ ?

Nun wird aufgrund der Hamilton'schen Gleichungen gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \lbrace F, H \rbrace = \dot F \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} \lbrace F, H \rbrace = \int \dd³r \left( \frac{\delta F}{\delta \psi(\vec r)} \frac{\delta H}{\delta \pi(\vec r)} - \frac{\delta F}{\delta \pi(\vec r)} \frac{\delta H}{\delta \psi(\vec r)} \right) \end{eqnarray*}$

Bis daher kann ich folgen. Weiters wird aber demonstriert, dass

$\begin{eqnarray*} \lbrace \psi(\vec r), \pi(\vec r') \rbrace = \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

gilt, indem man aus der Tautologie

$\begin{eqnarray*} \psi(\vec r) = \int \dd^3r' \psi(\vec r') \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

entnimmt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta \psi(\vec r)}{ \delta \psi(\vec r')} = \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

Ich spüre zwar, wie es gemeint ist, habe da aber einen Knoten im Kopf, da doch $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ keine Funktionale sind, und im Gegensatz zu obigem H doch noch von x abhängen. Oder kann ich $\begin{eqnarray*} \psi(\vec r) \end{eqnarray*}$ als Funktional betrachten, indem ich sage, $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ hängt von sich selbst ab???

Wenn dies so wäre, dann könnte man - und das ist mein Stein des Anstoßes - das elektrische Vektorpotenzial ja auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} A_i(\vec r) = \int \dd^3 x A_i(\vec r') \delta (\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

und folgern, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta A_i(\vec r)}{ \delta A_j(\vec r')} = \delta_{ij} \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

Wenn man transversal eicht ( $\begin{eqnarray*} \partial _i A_i = 0 \end{eqnarray*}$ ), kann man aber über ein wenig Nablagymnastik herleiten, dass

$\begin{eqnarray*} A_i(\vec r) = \int \dd^3 x A_j(\vec r') \delta^{t}_{ij} (\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

gilt, mit der transversalen Deltafunktion, die für $\begin{eqnarray*} i \ne j \end{eqnarray*}$ nicht verschwindet (ich schreibe den Ausdruck jetzt nicht hin).

Dann wäre aber

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta A_i(\vec r)}{ \delta A_j(\vec r')} = \delta^t_{ij}(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

Beides ist für mich gleichermaßen logisch, letzteres ist aber bekanntermaßen richtig.

Ich glaube mein Problem liegt im unzureichenden Verständnis begründet, was eigentlich eine Funktionalableitung ist und wie man sie berechnet.

Kennt sich hier jemand aus, der das auf Physiker-Niveau erklären kann? Danke smile

01.06.2017, 20:54

index_razor

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schnudl

Nun wird eine Funktionalableitung definiert über

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta H}{\partial \psi(\vec r)} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \lbrace H(\psi(\vec r')+\epsilon \delta(\vec r - \vec r'), \pi(\vec r')) - H(\psi(\vec r'), \pi(\vec r'))\rbrace \end{eqnarray*}$

Heißt das nun, die Funktionalableitung ist eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ ?

Die Funktionalableitung kann meines Wissens vollkommen analog zum Begriff der Ableitung aus der normalen Analysis definiert werden, also letztendlich als linearer Anteil der Änderung in einem bestimmten Punkt

$\begin{eqnarray*} H(\psi + \eta) = H(\psi) + \frac{\delta H}{\delta \psi}.\eta + ..., \end{eqnarray*}$

wobei es sich nun eben bei dem "Punkt" $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und dem "Inkrement" $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ um (vektorielle und z.B. normierbare) Funktionen handelt und "..." für Terme steht, die schneller gegen null gehen als $\begin{eqnarray*} \|\eta \| \end{eqnarray*}$ .

Wenn mich nun meine Erinnerung nicht täuscht, ist, unter gewissen Voraussetzungen, die Existenz von $\begin{eqnarray*} \frac{\delta H}{\delta \psi} \end{eqnarray*}$ äquivalent zur Existenz aller Richtungsabbleitungen

$\begin{eqnarray*} \partial_\eta H(\psi) = \frac{\dd}{\dd \epsilon}H(\psi + \epsilon\eta)|_{\epsilon=0} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \|\eta\|=1 \end{eqnarray*}$ und in diesem Fall ist

$\begin{eqnarray*} \partial_\eta H(\psi) = \frac{\delta H}{\delta \psi}.\eta. \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ nun, wie die Hamiltondichte, eine reelle (oder komplexe) Abbildung ist, dann ist folglich $\begin{eqnarray*} \frac{\delta H}{\delta \psi} \end{eqnarray*}$ eine lineare, reelle (oder komplexe) Abbildung,

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta H}{\delta \psi}: \eta \mapsto \frac{\delta H}{\delta \psi}.\eta \end{eqnarray*}$

also ein Funktional. Funktionale wiederum sind gelegentlich durch Funktionen unter einem Integral darstellbar, d.h. über die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta H}{\delta\psi}.\eta = \int \dd r f(r)\eta(r). \end{eqnarray*}$

In diesem Zusammenhang schreibt hauptsächlich der Physiker dann auch gern

$\begin{eqnarray*} f(r) = \frac{\delta H}{\delta\psi(r)}. \end{eqnarray*}$

Dieser Spezialfall dient nun als Anlaß dem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta H}{\delta \psi(r)} \end{eqnarray*}$

inklusive r-Abhängigkeit wieder einen allgemeinen eigenständigen Sinn, unabhängig vom definierenden Integral zu geben; auf genau dieselbe Weise wie aus der Delta-Distribution eine "Delta-Funktion" wird. Formal wird das offenbar erreicht, wenn oben unter dem Integral $\begin{eqnarray*} \eta(r) = \delta(r-r') \end{eqnarray*}$ gesetzt wird. Das ganze sieht dann so aus, als hätte man in der obigen Richtungsableitung in "Richtung der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Funktion" abgeleitet, also

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta H}{\delta \psi(r)} = \frac{\dd}{\dd\epsilon}H(\psi(\cdot) + \epsilon\delta(r-\cdot)) \end{eqnarray*}$

berechnet.

(Es macht hier m.E. keinen Sinn auch noch die r'-Abhängigkeit mit hinzuschreiben, und auch so besitzt das ganze nur eine eher heuristische Bedeutung.)

Zitat:

Weiters wird aber demonstriert, dass

$\begin{eqnarray*} \lbrace \psi(\vec r), \pi(\vec r') \rbrace = \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

gilt, indem man aus der Tautologie

$\begin{eqnarray*} \psi(\vec r) = \int \dd^3r' \psi(\vec r') \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

entnimmt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta \psi(\vec r)}{ \delta \psi(\vec r')} = \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

Ich spüre zwar, wie es gemeint ist, habe da aber einen Knoten im Kopf, da doch $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ keine Funktionale sind, und im Gegensatz zu obigem H doch noch von x abhängen.

Ich interpretiere das so, daß hier

$\begin{eqnarray*} \psi(\vec r) = \int \dd^3r' \psi(\vec r') \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

für die Abbildung steht, die jede Funktion sich selbst zuordnet, d.h.

$\begin{eqnarray*} H(\psi) = \psi \end{eqnarray*}$

bzw. am Punkt x ausgewertet:

$\begin{eqnarray*} H(\psi)(x) = \psi(x) \end{eqnarray*}$

Hier ist nun $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ keine "skalare" Abbildung, sondern ein Operator, der den Funktionenraum, aus dem $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ stammt, auf sich selbst abbildet. Aber alles oben über die Funktionalbleitung gesagte, sollte sich sinngemäß auf diesen Fall übertragen. Insbesondere mag die Funktionalableitung in diesem Fall durch einen Integralkern darstellbar sein, also

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\delta H}{\delta \psi}.\eta\right)(x) = \int \dd y K(x,y)\eta(y). \end{eqnarray*}$

In dem Fall $\begin{eqnarray*} H(\psi)=\psi \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ nun selbst schon eine lineare Abbildung und stimmt deshalb mit seiner eigenen Funktionalableitung überein.

Aus diesem Grunde ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta\psi(r)}{\delta\psi(r')}\stackrel{def}{=}\frac{\delta H}{\delta\psi(x)}(x')=\delta(x-x'). \end{eqnarray*}$

01.06.2017, 22:21

index_razor

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Diskrepanz bei Poisson Klammern für konjugierte Felder

Zitat:

Original von schnudlselbst ab???

Wenn dies so wäre, dann könnte man - und das ist mein Stein des Anstoßes - das elektrische Vektorpotenzial ja auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} A_i(\vec r) = \int \dd^3 x A_i(\vec r') \delta (\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

und folgern, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta A_i(\vec r)}{ \delta A_j(\vec r')} = \delta_{ij} \delta(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

Wenn man transversal eicht ( $\begin{eqnarray*} \partial _i A_i = 0 \end{eqnarray*}$ ), kann man aber über ein wenig Nablagymnastik herleiten, dass

$\begin{eqnarray*} A_i(\vec r) = \int \dd^3 x A_j(\vec r') \delta^{t}_{ij} (\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

gilt, mit der transversalen Deltafunktion, die für $\begin{eqnarray*} i \ne j \end{eqnarray*}$ nicht verschwindet (ich schreibe den Ausdruck jetzt nicht hin).

Dann wäre aber

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta A_i(\vec r)}{ \delta A_j(\vec r')} = \delta^t_{ij}(\vec r - \vec r') \end{eqnarray*}$

Beides ist für mich gleichermaßen logisch, letzteres ist aber bekanntermaßen richtig.

Ich denke beides ist richtig. Verstehe ich das richtig, daß du einen Widerspruch darin siehst, daß "die Ableitung von A nach A" einmal die Delta-Funktion ergibt und ein anderes mal bloß die transversale Delta-Funktion?

Das ist m.E. kein Widerspruch. "Die Ableitung von A nach A" bedeutet eben in beiden Fällen etwas völlig anderes. Meines Wissens ist die transversale Delta-Funktion nichts anderes als die Projektion auf den linearen Unterraum der transversal geeichten Felder, während die Delta-Funktion im Prinzip die identische Abbildung auf dem Raum aller Felder ist, unabhängig von irgendeiner Eichung. Beides sind stetige lineare Funktionale und als solche stimmen sie beide mit ihrer eigenen Funktionalableitung überein. Das ist genauso wenig widersprüchlich wie die Tatsache, daß es verschiedene lineare Funktionale auf demselben Funktionenraum gibt.

02.06.2017, 21:01

schnudl

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Diskrepanz bei Poisson Klammern für konjugierte Felder

Zitat:

Original von index_razor
Verstehe ich das richtig, daß du einen Widerspruch darin siehst, daß "die Ableitung von A nach A" einmal die Delta-Funktion ergibt und ein anderes mal bloß die transversale Delta-Funktion?

ja, hier sehe ich schon einen Widerspruch. Wenn ich ein Symbol anschreibe, sollte es doch eindeutig definiert sein, und nicht wahlweise so der so - oder?

Ich muss mir das alles aber in Ruhe nochmal ansehen. Hatte heute keine Zeit dafür.
Danke einmal für Eure Antworten soweit Augenzwinkern

03.06.2017, 09:58

index_razor

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Diskrepanz bei Poisson Klammern für konjugierte Felder

Zitat:

Original von schnudl
ja, hier sehe ich schon einen Widerspruch. Wenn ich ein Symbol anschreibe, sollte es doch eindeutig definiert sein, und nicht wahlweise so der so - oder?

Du kannst doch auch zwei verschiedene Symbole einführen, z.B.

$\begin{eqnarray*} P_t(A)=\int \delta^t(\cdot - x)A(x)\dd x \end{eqnarray*}$

für die Projektion auf die transversal geeichten Felder und

$\begin{eqnarray*} E(A)=\int \delta(\cdot - x)A(x)\dd x \end{eqnarray*}$

für die identische Transformation. Dann erhältst du

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta P_t}{\delta A(y)}(x) = \delta^t(x-y) \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{\delta A(x)}{\delta A(y)}=\delta^t(x-y) \end{eqnarray*}$ gilt eben nur, wenn das A(x) im "Zähler" als transversal geeichtes Feld aufgefaßt wird.

Neue Frage »

Antworten »

Diskrepanz bei Poisson Klammern für konjugierte Felder

Verwandte Themen