Minimalpolynom einer Matrix bestimmen

01.06.2017, 20:34

Jefferson1992

Minimalpolynom einer Matrix bestimmen

Hallo ihr Lieben,

Ich brauche einen Tipp. Habe zwar Ideen, aber es hapert an der Umsetzung.

Es geht um folgende Aufgabe:

Für eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} a_0, ..., a_{n-1} \end{eqnarray*}$ Elemente eines Körpers $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten die Matrix:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0& 0& -a_0 \\ 1 & 0 & ... &0&0&-a_1 \\ 0 & 1 & ...&0&0&-a_2 \\ ...&...&...&...&...&... \\ 0 &0 &... &1&0&-a_{n-2} \\ 0&0&...&0&1&-a_{n-1} \end{pmatrix} \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} f\in K[x] \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(A) = 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} grad \ f \geq n \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von A.

Lösung/Ansatz:

Zur A:

Ich habe mir die Matrix mal genauer angesehen und da sieht man ja, dass die Hauptdiagonale bis auf den letzten Eintrag aus Nullen besteht. Bedeutet für mich, wenn ich das charakteristische Polynom ausrechnen würde, was ja dann tatsächlich ein $\begin{eqnarray*} f\in K[x] \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ wäre, dann hätte ich $\begin{eqnarray*} (n-1)*x *(a_{n-1}-x) \end{eqnarray*}$ und das ergibt meines Erachtens genau ein Polynom von Grad n.

Jetzt ist mein Problem nur, dass ich nicht weiß, ob ich überhaupt das charakteristische Polynom nehmen kann und weiterhin, weiß ich ja, dass das charakeristische Polynom nicht das vom kleinsten Grad sein muss, ich könne ja auch ein Minimalpolynom finden, dass kleineren Grad hat.

Nun soll ich aber zeigen, dass es da im allgemeinen, für dieses A, kein Polynom gibt, dass kleineren Grad hat als n. Und genau das ist mir etwas unklar.
Reicht da jetzt meine Überlegung oder kann ich da noch irgendwas ausrechnen?

zur b)
naja, falls meine a) irgendwelche richtigen Überlegungen enthält, dürfte gelten charakteristisches Polynom = Minimalpolynom ..

Ich danke euch!!!

01.06.2017, 22:33

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RE: Minimalpolynom einer Matrix bestimmen
Das charakteristische Polynom ist von A ist sicher nicht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (n-1)*x *(a_{n-1}-x) \end{eqnarray*}$

Das ist im Übrigen ein Polynom vom Grad höchstens zwei. Also denk nochmal darüber nach.
Grundsätzlich bist du mit Minimalpolynom=char. Polynom auf der richtigen Spur.
Wenn es gar nicht vorwärts geht, dann such nach "Begleitmatrix"

Edit: Für Teil a) loht es sich, eine Blick auf die jeweils erste Spalte der Potenzen von A zu werfen.

02.06.2017, 14:01

Jefferson1992

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RE: Minimalpolynom einer Matrix bestimmen
Hey,

erstmal vielen Dank für die Antwort.
Ja logisch, dummer Schreibfehler. Meinte da glaube ich $\begin{eqnarray*} x^{n-1}*(a_{n-1}-x) \end{eqnarray*}$ . Das wäre das, was ich auf der Hauptdiagonalen bekäme und wäre soweit schon mindestens grad n.
Kann ich so argumentieren?

Zu deinem Tipp zur a):

Habe mir das mal angesehen und herausgefunden, dass die Spalten immer ein Platz nach links rücken, wenn ich potenziere:

Bei einer 3x3 Matrix zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & -a_2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & -a_0 & * \\ 0 & -a_1 & * \\ 1 & -a_2 & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was bringt mir das jetzt für die a?

Bei der b)

Ich habe mal von einer 2x2, 3x3 und 4x4 Matrix das charakteristische Polynom ausgerechnet und bekommen:

$\begin{eqnarray*} 2x2: \ x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x3: -x^3-a_2x^2-a^1x-a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x4: x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

Das legt ja die Vermutung nahe, dass es sich bei meinem allgemeinen charakteristischen Polynom um ein Polynom der Form: $\begin{eqnarray*} x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ handeln könnte.

Reicht es bei der Aufgabe aus, wenn ich diese Behauptung aufstelle und diese dann beweise, oder gibt es einen besseren, vielleicht leichteren Weg, wie ich an dieses Polynom komme?

Wenn ich das dann gezeigt habe, dann muss ich ja noch zeigen, dass es auch das Minimalpolynom ist:
Wie kann ich das zeigen? Durch die a? Die mir ja sagt, dass der $\begin{eqnarray*} grad\ f \geq n \end{eqnarray*}$ ist und somit kein Polynom kleineren Grades existieren kann?

Ich bedanke mich!!

02.06.2017, 22:37

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RE: Minimalpolynom einer Matrix bestimmen
Tut mir leid, ich sehe keine Argumentation sondern nur das Polynom $\begin{eqnarray*} x^{n-1}*(a_{n-1}-x) \end{eqnarray*}$ . , dessen Zusammenhang mit A mir entgeht.

Die jeweils erste Spalten der Potenzen von A sind linear unabhängig - zumindest für einige Potenzen.
Und aus der Matrixgleichung f(A)=0 folgt eine entsprechende Gleichung für die ersten Spalten.

Du hast doch schon selbst gesagt, wie das laufen soll: Minimalpolynom = char. Polynom.
Dann musst du schon noch das char. Polynom bestimmen.

06.06.2017, 19:35

Jefferson1992

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okay..
Wenn ich das charakteristische Polynom bestimme, dann füge ich auf der Hauptdiagonalen -x ein und berechne die Determinante. Dann kann ich nach der 1. Teile entwickeln und erhalte -x* (nächste Determinante) etc. Die nächsten Determinanten haben aber auch alle in der ersten Zeile nur -x und -a_i, dass ich in meinen Berechnungen beachten muss.

Deswegen war und ist meine Vermutung, dass das charakteristische Polynom Grad n hat, da ich ja n Diagonaleinträge mit jeweils -x habe, die ich miteinander multiplizieren muss.

Also:

Das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} f_\alpha = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ .
Weg dahin:

Sei n = 2
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -x & -a_0 \\ 1 & -a_1-x \end{vmatrix} =x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$
Das halt also die Form, die ich oben aufgestellt habe.
Es stimmt also für ein festes, aber beliebiges n.

Sei nun n-> n+1

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x& 0 & ...&0&-a_0 \\ 1 & x & ...&0&-a_1 \\ ... & ... & ...&...\\0&0&...&1&x+a_n \end{vmatrix}=x*(x^{n}+a_{n}*x^{n-1}+...+a_3x^2+a_2x+a_1)+a_0\begin{vmatrix} 1 & x & 0&...&0&0&-a_1 \\ 0 & 1 & x&0&...&0&-a_2 \\ ... & ... & ...&...&...&...&...\\0&0&...&...&...&x&1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x^{n+1}+a_{n-1}*x^{n}+...+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

Und das hat ja auch wieder die Form? Ich weiß nur nicht, wie ich das jetzt noch richtig zeigen kann (Induktionsvorrausetzung einsetzen), weil ich irgendwie jetzt etwas verwirrt bin..

Ich sehe gerade den Wald vor Bäumen nicht?

Tip? Oder ist das totaler Käse, den ich da fabriziere?

Danke!!!

06.06.2017, 19:49

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Zitat:

Deswegen war und ist meine Vermutung, dass das charakteristische Polynom Grad n hat, da ich ja n Diagonaleinträge mit jeweils -x habe, die ich miteinander multiplizieren muss.

Das charakteristische Polynom hat natürlich Grad n, schließlich hast du es mit ener $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ Matrix zu tun.
Aber $\begin{eqnarray*} x^{n-1}*(a_{n-1}-x) \end{eqnarray*}$ ist sicher nicht das char Polynom sondern $\begin{eqnarray*} x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ wie du richtig bemerkt hast. Beweisen kann man das durch Entwicklung nach der letzten Spalte.

06.06.2017, 20:59

Jefferson1992

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Kann ich denn dann bei der a) mit der angegebenen Bedingung $\begin{eqnarray*} f(A)=0 \end{eqnarray*}$ davon ausgehen, dass es sich dabei um das charakteristische Polynom handelt und deswegen grad $\begin{eqnarray*} f \geq n \end{eqnarray*}$ ist?

Dann habe ich nur noch ein Problem und zwar, fällt mir auf Anhieb kein Beispiel ein, wo $\begin{eqnarray*} grad \ f \neq n \end{eqnarray*}$ ist? Gibt es einen Charakteristik, wo gilt: $\begin{eqnarray*} grad \ f > n \end{eqnarray*}$ ?

b)

Dann habe ich dazu jetzt noch eine Frage: Wenn ich nach der letzten Spalte entwickle, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 0 & ...& -a_0 \\ 1 & x & ...&-a_1 \\ 0 & 1 & ... &-a_2 \\...&...&...&... \\0&0&...& x+a_{n-1} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich ja ungefähr folgendes:

$\begin{eqnarray*} -a_0*\begin{vmatrix} 1 & x & ...& 0 \\ 0 & 1 & ...&0 \\ 0 & 0 & ... &0 \\ \\0&0&...& 1 \end{vmatrix}=-a_0 \end{eqnarray*}$

Aber ist dieser Teil des charakteristischen Polynoms nicht $\begin{eqnarray*} +a_0 \end{eqnarray*}$ ?

Wo liegt da mein Denkfehler?

06.06.2017, 21:46

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a) Nein, davon kannst du nicht ausgehen. Du sollst zeigen, dass jedes von Null verschiedene Polynom f mit $\begin{eqnarray*} f(A)=0 \end{eqnarray*}$ mindestens den Grad n hat.

Zitat:

Dann habe ich nur noch ein Problem und zwar, fällt mir auf Anhieb kein Beispiel ein, wo $\begin{eqnarray*} grad \ f \neq n \end{eqnarray*}$ ist? Gibt es einen Charakteristik, wo gilt: $\begin{eqnarray*} grad \ f > n \end{eqnarray*}$ ?

Was soll denn hier das f sein?

b) Du musst dich schon entscheiden, ob du $\begin{eqnarray*} \det(xE-A) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \det(A-xE) \end{eqnarray*}$ berechnen willst. Es sieht so aus, als würdest du keins von beiden berechnen.
Wenn du $\begin{eqnarray*} \det(xE-A) \end{eqnarray*}$ richtig berechnest, bekommst du $\begin{eqnarray*} x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ als char. Polynom

06.06.2017, 22:07

Jefferson1992

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a) okay.. dann bin ich jetzt ein bisschen ratlos..
Ich soll also zeigen, dass es kein Polynom gibt mit $\begin{eqnarray*} grad < n \end{eqnarray*}$ für das gilt $\begin{eqnarray*} f(A)=0 \end{eqnarray*}$
Du hattest mir schon den Tip gegeben, dass ich mir die Potenzen anschauen soll, da sind wir darauf gekommen, dass die ersten Spalten jeweils linear unabhängig sind. Ich kann mit diesen Spalten also eine Basis bilden. (falls mir das etwas bringt..)
Aber was sagt mir das jetzt über den grad? Ich sehe es gerade nicht..

b)
okay. Ich schau nochmal, wo ich mich da verschrieben habe, aber das Prinzip ist ja schon mal richtig.. Lange Geburt

Dann muss ich doch nur noch zeigen, dass das charakteristische Polynom= Minimalpolynom ist, richtig?

normiert ist klar und da $\begin{eqnarray*} f(A) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist auch klar, dass $\begin{eqnarray*} f_A=m_A \end{eqnarray*}$ , denn nach Cayley Hamilton gilt ja: $\begin{eqnarray*} m_A | f_A \end{eqnarray*}$ . Mit der a) folgt aber, dass $\begin{eqnarray*} m_A \end{eqnarray*}$ mindestens Grad n hat, was es schon hat.

Passt das?

06.06.2017, 22:28

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a) Die ersten Spalten sind Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Also werden die Spalten nicht immer linear unabhängig bleiben..

b) ist ok

06.06.2017, 22:41

Jefferson1992

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a)

Also wenn ich das richtig verstehe..

Ich habe ja immer die Basisvektoren des $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ bis zur letzten Spalte, da habe ich einen linear abhängigen Vektor, der mit den Spalten vorher darstellbar ist.

Ich versuche mal zu formulieren, was ich gerade im Kopf habe:

Ich habe n Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ und (mindestens) einen Vektor, der linear abhängig ist. Damit $\begin{eqnarray*} f(A) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, muss ich ja lineare Abhängigkeiten finden, und die finde ich erst nach n Schritten, da die ersten n Spalten die Basisvektoren sind.

Ich weiß sehr lückenhaft, aber ich weiß nicht, wie ich es mathematisch ausdrücken kann..

06.06.2017, 23:00

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Du denkst an eine Potenz von A. Du musst dir mehrere Potenzen von A anschauen:
Für $\begin{eqnarray*} j=0,1,\ldots , n-1 \end{eqnarray*}$ ist die erste Spalte von $\begin{eqnarray*} A^j \end{eqnarray*}$ gerade der Basisvektor $\begin{eqnarray*} e_{j+1} \end{eqnarray*}$ (kanonische Basis, also $\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,\ldots ,0)^T, e_2=(0,1,0..)^T \end{eqnarray*}$ ) usw.
Jetzt nimm ein beliebiges Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{J=0}^{n-1}a_jx^j \end{eqnarray*}$ vom Grad höchstens n-1 und schau dir die erste Spalte von $\begin{eqnarray*} p(A) \end{eqnarray*}$ an.

06.06.2017, 23:36

Jefferson1992

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$\begin{eqnarray*} a_0*e_1+a_1*e_2+a_2*e_3+....+a_{n-1}*e_n = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1\\a_2\\a_3\\...\\a_{n-2}\\a_{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt sind wir ja einmal alle Basisvektoren durchgegangen, haben also einen linear abhängigen Vektor kreiert.
Aber ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch, was das jetzt bedeutet.. Sorry spät.

Um da eine Nullspalte zu erhalten, muss schon $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=...=a_{n-1} \end{eqnarray*}$ gelten oder? Was ich ja sicherlich ausschließen kann.

07.06.2017, 07:38

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Zuerst war es eine Dummheit von mir, die Koeffizienten des Polynoms mit $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen, weil das schon für die Matrix verwendet wird Forum Kloppe

Vermutlich hat dich das verwirrt. Also nochmal:
Nimm ein beliebiges Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{j=0}^{n-1}\alpha_j x^j \end{eqnarray*}$ vom Grad kleiner als n für das $\begin{eqnarray*} p(A)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Für die erste Spalte gilt dann $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{n-1}\alpha_j e_{j+1}=0 \end{eqnarray*}$ , wegen der linearen Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a_0=\ldots =a_{n-1}=0 \end{eqnarray*}$ und damit also $\begin{eqnarray*} p=0 \end{eqnarray*}$ .

Haben wir also $\begin{eqnarray*} f\in K[x] \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(A) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann kann der Grad von f nicht kleiner als n sein. Also $\begin{eqnarray*} grad \ f \geq n \end{eqnarray*}$ .

13.06.2017, 09:53

Jefferson1992

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Vielen lieben Dank! Habe es dann nochmal fein säuberlich aufgeschrieben und volle Punkte kassiert.

Gracias!

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