Basis des Vektorraums der Polynome

01.06.2017, 23:07	Dieter Vi	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Vektorraums der Polynome Meine Frage: Hallo zusammen, Ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Thema "Vektorraum der Polynome" und versuche zu den Vektorräumen eine Basis herzuleiten. Mein Problem ist, dass wenn das Polynom eine Eigenschaft besitzt, weiß ich nie genau ich mich dabei verhalten soll. Beim herleiten einer Basis weiß ich zwar, dass ich das Polynom (Vektorraum) auf lineare unabhängigkeit prüfen muss, aber kann ich da das Polynom(Vektorraum) einfach gleich Null setzen? Meine Ideen: Ich habe für mich ein paar kleine Beispiele ausgedacht und wollte euch Fragen ob meine Überlegungen richtig sind. $\begin{eqnarray} <br /> p_n \in P_n \wedge P_n ein Vektorraum <= 1 \| p_n einfache Nullstelle bei x = 1<br /> Pruefe auf Untervektorraum<br /> <br /> p_n(x) + q_n(x) = a_0 + a_1 x + b_0 + b_1 x = a_0 + b_0 + x(a_1 + b_1) = (p_n + q_n) (x)<br /> <br /> p_n(x) \lambda = (a_0 + a_1 * x) * \lambda = a_0 * \lambda + a_1 * x * \lambda = p_n(lambda * x)<br /> <br /> => p_n ist Untervektorraum<br /> <br /> Basis herleiten<br /> p_n(1) = 1-x = 0 => Basis(1-x) => Dim(1)<br /> \end{eqnarray*}$ Hoffe meine Überlegungen sind Richtig, nur eine Frage zu der Basis, was ist mit dem a_0 und a_1? Ist das nicht Falsch, dass ich die Weggelassen habe oder stellt die 1 einer der Koeffizenten dar?
02.06.2017, 00:03	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis des Vektorraums der Polynome Mir ist nicht wirklich klar, welches Beispiel Du bearbeiten möchtest. Geht es vielleicht um $\begin{eqnarray} U=\{p_n \in P_n \| p_n \text{hat bei x = 1 eine einfache Nullstelle}\} \end{eqnarray}$ Die vordere 1 und der Folgepfeil sind da irgendwie fehl am Platz. Wie Du richtig angemerkt hast, nutzt Du in deinem "Beweis" nirgends die Eigenschaft der Elemente aus U, so dass Du trotz deiner Mühe rein gar nichts gezeigt hast (Ganz davon abgesehen, dass die getroffene Schlußfolgerung in zwei und drei auch falsch sind). Überleg Dir, was erfüllt sein muss, damit die Summe zweier Polynome wieder in U liegt. Anders formuliert: Was muss für r(x) gelten, damit r(x)=p(x)+q(x) in U liegt? Nutze diese Erkennnis zum Beweis des Unterraums. Gleiche Überlegung musst Du für das skalare Vielfache anstellen, dann sollte Dir der Beweis leichter fallen.
02.06.2017, 05:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis des Vektorraums der Polynome @Helferlein Wenn man "eine einfache Nullstelle" durch "eine Nullstelle" ersetzt, so ist es ein Vektorraum. Ansonsten ist nicht einmal die 0 in U.
02.06.2017, 16:48	Dieter Vi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis des Vektorraums der Polynome Ich bin mal erlich, ich hab da wirklich sehr viel darüber gelesen und auch schon darüber nachgedacht. Ich glaube es wäre für mich mal gut, dass ich eine nicht ganz triviale Aufgabe + Musterlösung sehe, damit ich villeicht den richtigen Ansatz mal sehe. Kennt ihr villeicht eine Seite auf der das ganz gut beschrieben steht (also Vektorraum der Polynome + Basis herleiten) oder könnt ihr mir villeicht da weiterhelfen, indem ihr mir etwas aufschreibt?
02.06.2017, 18:31	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfaches Beispiel: Sei $\begin{align} P_n \end{align}$ die Menge aller Polynome vom Höchstgrad n und $\begin{align} U=\{p \in P_n\|p(5)=0\} \end{align}$ Prüfen der drei Unterraumkriterien: K1: Offensichtlich ist das Nullpolynom in der Menge U enthalten. U ist also nicht leer. K2: Seien $\begin{align} p,q \in U \end{align}$ , dann gilt $\begin{align} (p+q)(5)=p(5)+q(5)=0+0=0 \end{align}$ p+q erfüllt also die Bedingung und ist somit ebenfalls in U enthalten. K3: Sei $\begin{align} p \in U \end{align}$ und $\begin{align} \lambda \in \mathbb{R} \end{align}$ , dann gilt $\begin{align} (\lambda p)(5)=\lambda \cdot p(5)= \lambda \cdot 0 =0 \end{align}$ $\begin{align} \lambda p \end{align}$ erfüllt also die Bedingung und ist somit in U enthalten.

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