Eine nicht freie Algebra

02.06.2017, 16:34

Studentu

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Eine nicht freie Algebra

Hallo Community,
folgende Aufgabe möchte ich lösen und ersuche euch um eure Hilfe bzw. Kontrolle:

Sei K die Klasse aller Algebren mit einer einstelligen Operation.

a) Sei $\begin{eqnarray*} S: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ die durch S(x) = x+1 definierte Funktion. Finde alle Unteralgebren von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}, S) \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
Die Unteralgebren sind alle Algebren der Form ( $\begin{eqnarray*} Z, S|_Z \end{eqnarray*}$ ) mit Z:= $\begin{eqnarray*} [z, \infty) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

b)Gib eine 6-elementige Algebra in K an. Finde alle Kongruenzrelationen dieser Algebra.

Meine Idee: $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}:=(\{1,2,3,4,5,6\}=:A, f) \end{eqnarray*}$ mit f(x)=x $\begin{eqnarray*} \forall x \in \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$
Kongruenzrelation: $\begin{eqnarray*} x \sim y \Leftrightarrow f(x) = f(y), x, y \in \end{eqnarray*}$ A.

c) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}, S) \end{eqnarray*}$ nicht frei in K ist.

d) Gib ein Beispiel einer Algebra an, die in K frei ist.
Meine Idee: Die Algebra $\begin{eqnarray*} (\mathbb{N}, S) \end{eqnarray*}$

Stimmen mein a) und b)? Wäre sehr nett, wenn mir bei c) jemand helfen könnte.

05.06.2017, 15:04

Studentu

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Ist an meiner Fragestellung etwas unklar?

05.06.2017, 15:40

IfindU

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Mir sind die Definitionen nur teilweise gelauefig.

Bei a)
Sieht richtig aus, bloss $\begin{eqnarray*} [z,\infty) \end{eqnarray*}$ bezeichnet ueblicherweise alle reelle Zahlen im Intervall. Du meinst $\begin{eqnarray*} [z, \infty) \cap \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Bei b)
Das langweiligste Beispiel, aber sollte passen. Die Kongruenzrelation ist also nach Definition $\begin{eqnarray*} x\sim y \iff x = y \end{eqnarray*}$ .

Bei c)
Heisst frei, dass ein $\begin{eqnarray*} z \in S \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} \{ S^n(z) | n \in \mathbb N \} = \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , d.h. es einen Erzeuger gibt?

Bei d)
Wenn frei das was oben heisst, dann stimmt es.

06.06.2017, 00:28

Studentu

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Danke für's Antworten, IfindU!!!

Ist das bei b) dann eh die einzige Kongruenzrelation, die es dort gibt?

Wir haben "frei" anders definiert, aber vlt. ist es äquivalen zu deinem.
Eine Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}=(F, \omega) \end{eqnarray*}$ heißt frei in der Klasse K, wenn es eine Teilmenge X von F gibt, sodass für alle Algebren $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ mit Trägermenge A und für alle $\begin{eqnarray*} j: X \rightarrow A \end{eqnarray*}$ ein eindeutiger Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ existiert, der j auf F fortsetzt.
(Ist das äquivalent zu deiner Definition und was bedeutet bei dir, dass z aus S, also z aus einer Operation, ist?)

Kannst du mir mit dieser Definition bitte bei c) weiterhelfen?

06.06.2017, 05:12

IfindU

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Vermutlich sind die nicht aequivalent. Vermutlich sind die Bedingungen nicht einmal verwandt Big Laugh

Big Laugh

Die Definition scheint unvollstaendig zu sein.Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ wirklich nur eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ? Ich vermute eine echte Teilmenge, weil sonst alle Algebren frei sind. Ferner sollte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht eine Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sein? Dann wuerde Aufgabe a) sicher hilfreich sein. Letztlich ist $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ selbt sicher bereits ein Homomorphismus zwischen Algebren. Ansonsten wird sehr selten ein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ existieren.

Edit: Noch eine Sache: Wie haengt die Klasse $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ da mit drin? Sagt das nur aus, dass es "frei als Algebra" zu verstehen ist?

06.06.2017, 15:26

Studentu

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Hallo IfindU,
tut mir leid, wenn ich die Definition nicht unmissverständlich erkären konnte.
Hier tippe ich sie so ab, wie sie in meinem Buch steht:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ eine Klasse von Algebren des gleichen Typs,
$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}=(F, (\omega_i)_{i \in I}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ ,
X eine Menge,
und $\begin{eqnarray*} \iota: X\rightarrow F \end{eqnarray*}$ eine Funktion.

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ heißt frei über $\begin{eqnarray*} (B, \iota) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ , wenn für alle $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \in \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ mit Trägermenge A und für alle j: $\begin{eqnarray*} X \rightarrow A \end{eqnarray*}$ ein eindeutiger Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j = \phi \circ \iota \end{eqnarray*}$ existiert.

Für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} X \subseteq F \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ die Identität auf X, schreibt man nur $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ist frei in $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ .

Hoffe, damit klären sich alle Missverständnisse, denn mehr habe ich dazu auch nicht. :$ Inwiefern hat sich denn die Definition (die ich selbst aus der korrekten abgeleitet habe) aus meinem letzten Post von dieser korrekt formulierten unterschieden?

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06.06.2017, 15:44

IfindU

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Hoffentlich letzte Frage: Ich kann mir nicht zusammenreimen was das $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist. Ist $\begin{eqnarray*} B = X \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Jetzt verstehe ich die Definiton. Mal nachdenken Big Laugh

Big Laugh

Edit 2: Soo. Ich denke folgendes ist ein guter Plan: Wir nehmen $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ als eine Unteralgebra von $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z , S) \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} (\mathbb N, S) \end{eqnarray*}$ .

Dann: Eine Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , kann nur ein-elementig sein. Beweis: Falls $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mehr Elemente enthält, konstruiere ein $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , so dass es keinen Homomorphismus gibt.

Sei also $\begin{eqnarray*} \{ z \} = B \end{eqnarray*}$ fuer ein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Definiere $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j(z) = 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass ein Homorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \varphi(z-1) = -1 \not\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ erfuellen muss. Widerspruch smile

smile

Edit 3: Deine Definition war korrekt, ich hatte sie nur voellig missverstanden.

Edit 4: Wenn ich das richtig sehe ist jede Unter-Algebra frei. Beweisen kann man das, indem man explizit die Basis und Homomorphismus angibt.

06.06.2017, 17:50

Studentu

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Danke für deine schnelle Hilfe, IfindU!

Dass da B steht ist vermutlich ein Tippfehler (also im Buch steht auch B, aber ich glaube, es ist, wie du vermutest, X damit gemeint).

Ist die eine Kongruenzrelation in b) die einzige, die es gibt?

Also der Beweis sieht dann so aus bei mir:

2) Behauptung: Eine erzeugende Menge X kann nur einelementig sein.
Beweis: Ang. X={x, y, ...} mit o.B.d.A $\begin{eqnarray*} x=S^n(y), n \in \mathbb{N}^+ \end{eqnarray*}$ . Dann definiere ich die Abbildung j: $\begin{eqnarray*} X \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit j(x)=1, j(y)=1.
Für einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , der j fortsetzt, gilt $\begin{eqnarray*} \phi(x)=1=\phi(y) \end{eqnarray*}$ .
Aber für einen Homomorphismus gilt ebenso $\begin{eqnarray*} \phi(y)=\phi(S^n(x))=S^n(\phi(x))=S^n(1)=n+1\neq 1 \end{eqnarray*}$ Das ist ein Widerspruch, also muss X einelementig sein.

3) Sei also X={z}, $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und j: $\begin{eqnarray*} X \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , j(z)=0
Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \phi(z)=\phi(S(z-1))=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} S(\phi(z-1))=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} S^{-1}(S(\phi(z-1))) = \phi(z-1) = \phi(S^{-1}(z)) = S^{-1}(\phi(z)) = S^{-1}(0) = -1 \end{eqnarray*}$ , aber -1 liegt nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , also Widerspruch!

Mir ist nur nicht klar, wieso wir in 3) die "Umkehroperation" von S, also das $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ anwenden dürfen? verwirrt

verwirrt

06.06.2017, 17:58

IfindU

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Zitat:

Original von Studentu
Danke für deine schnelle Hilfe, IfindU!

Wurde auch Zeit, dass ich was produktives beisteure Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

3) Sei also X={z}, $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und j: $\begin{eqnarray*} X \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , j(z)=0
Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \phi(z)=\phi(S(z-1))=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} S(\phi(z-1))=0 \end{eqnarray*}$

An der Stelle reicht es die Definition von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zu benutzen. Es ist $\begin{eqnarray*} S(x) = x+1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} S(\phi(z-1)) = \phi(z-1) + 1 \end{eqnarray*}$ . Und schon kommt man auf das Ergebnis.

Und sehr schön Freude

Freude

07.06.2017, 12:19

Studentu

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Cool, das war ja im Endeffekt dann alles gar nicht so schwer.

Und danke, dass du das Lösungsvorgehen so schrittweise aufgeführt hast, dadurch hab ich zumindest mal eine Idee davon, wie man dabei generell vorgeht. smile

smile

07.06.2017, 12:37

IfindU

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Freut mich Freude

Freude

Ich habe noch ein wenig drüber nachgedacht. Sei $\begin{eqnarray*} (F, S) \end{eqnarray*}$ eine Algebra mit einstelliger Verknüpfung, so dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ abzaehlbar, und $\begin{eqnarray*} S: F \to F \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ frei genau dann, wenn es einen Erzeuger gibt. Und Erzeuger ist so definiert wie im ersten Post.

Wenn $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist, wuerde ich vermuten, dass es nie frei ist. Wenn es nicht surjektiv ist, so muss die Basis aus mindestens 2 Elementen bestehen.

Da $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ in deinem Beispiel bijektiv war, haette man also mit "meiner" Definition argumentieren koennen. Schoener Zufall Big Laugh

Big Laugh

Edit: Abzaehlbar ergaenzt. Sonst bin ich mir wieder unsicher Big Laugh

Big Laugh

07.06.2017, 17:46

Studentu

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Interessante Festellung!

Eine Frage hätte ich jetzt doch noch:
sind in b) nicht auch noch die trivialen Kongruenzrelationen, also Gleichheitsrelation und Allrelation anzuführen und wie würde man theoretisch zeigen, dass es keine weiteren Kongruenzrelationen gibt (falls man das zeigen kann)?

07.06.2017, 18:17

IfindU

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RE: Eine nicht freie Algebra
Es folgt direkt mit der Definition von Kongruenzrelation, dass ALLE Aequivalenzrelationen auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bereits Kongruenzrelationen sind. Insbesondere hat man alle gefunden, und der (nicht vorhandene) Rest ist keine Kongruenzrelation.

10.06.2017, 14:21

Studentu

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Das ist mir leider noch nicht klar, so trivial es auch sein mag.

Eine Kongruenzrelation ist nach Definition ja eine Äquivalenzrelation, die mit den Operationen verträglich ist.
Wie erkenne ich denn, dass automatisch alle Äquivalenzrelationen, die existieren könnten, mit den Operationen verträglich sind?
Und wie begründet man, dass der (nicht vorhandene) Rest keine Kongruenzrelation sein kann?

12.06.2017, 15:11

Studentu

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Oder kann man da mit dem Homomorphiesatz irgendwie folgern, dass es - abgesehen von den beiden trivialen Kongruenzen - die einzige Kongruenzrelation ist?

13.06.2017, 13:56

IfindU

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Sorry, ich war nicht da.

Schreibe doch auf was eine Kongruenzrelation fuer dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erfuellen muss. Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \sim y \implies f(x) \sim f(y) \end{eqnarray*}$ . Dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ musst du einsetzen und nachpruefen.

24.06.2017, 17:35

Studentu

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Danke dir, IFindU, so ist es mir jetzt klar geworden. smile

smile

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