Translationsinvarianz des Laplace-Operators

03.06.2017, 11:43	JamesKol	Auf diesen Beitrag antworten »
Translationsinvarianz des Laplace-Operators Hallo zusammen, ich versuche gerade zu zeigen, dass der Laplace-Operator translationsinvariant ist. Konkret: Ist $\begin{eqnarray} u \in C^2(U) \end{eqnarray}$ harmonisch, d.h. $\begin{eqnarray} \Delta u = 0 \end{eqnarray}$ , dann ist auch die Funktion $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v(x):=u(x-y) \end{eqnarray}$ (für festes $\begin{eqnarray} y \in U \end{eqnarray}$ ) harmonisch. Das ganze läuft wohl auf eine Anwendung der Kettenregel raus (mit der ich mir immer noch schwer tue, trotz, dass ich im Master bin: Hättet ihr da gute Zusatzübungen für mich?): Hier mein Versuch: $\begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial x_i}(x) = \frac{\partial u}{\partial x_i}(x-y) \frac{\partial}{\partial x_i} (x-y) = \frac{\partial u}{\partial x_i}(x-y) \cdot x_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 v}{\partial x_i^2}(x) = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial u}{\partial x_i}(x-y) \right) x_i + \frac{\partial u}{\partial x_i}(x-y) \frac{\partial}{\partial x_i} x \end{eqnarray}$ Folglich $\begin{eqnarray} \Delta v(x) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}(x-y) x_i + \frac{\partial u}{\partial x_i}(x-y) x_i \end{eqnarray}$ , wo ich scheitere zu zeigen, dass dies =0 ist. Ich vermute, ich hab mich bei der Kettenregel verzettelt und wäre wirklich dankbar, wenn ihr mir kurz sagt, was ich falsch mache. Danke euer JamesKol
03.06.2017, 13:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Translationsinvarianz des Laplace-Operators Du meinst $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_i} (x-y) = x_i \end{eqnarray}$ ? Darüber würde ich nochmal nachdenken.
03.06.2017, 13:47	JamesKol	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du recht, das passt so nicht. Also nochmal im Detail: $\begin{eqnarray} h: \mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} h(x) := x-y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u: \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} h = u \circ h: \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray}$ Folglich ist mit der Kettenregel $\begin{eqnarray} \frac{\partial v}{\partial x_i}(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_k}(x-y) \cdot \underbrace{\frac{\partial h^{(k)}}{\partial x_i}(x)}_{=\frac{\partial}{\partial x_i} (x_k - y_k) = \delta_{i,k}} = \frac{\partial u}{\partial x_i}(x-y) \end{eqnarray}$ Passt das soweit?
03.06.2017, 15:59	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ok. Wobei ich die Variablen von u und h nicht gleich bezeichnen würde.

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