Partielle Ableitung Wurzel und GDS

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03.06.2017, 12:36	tyrell	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitung Wurzel und GDS Meine Frage: Hallo, ich bin gerade dabei die partielle Ableitung einer Nutzenfunktion zu bestimmen und habe mich irgendwie total verrannt, speziell geht es hierbei um eine Nutzenfunktion mit vierter Wurzel: 4. Wurzel von x1 + Wurzel von x2} Nachdem man die partielle Ableitung nach x1 und x2 gebildet hat komme ich auf $\begin{eqnarray} 1/4x1^{-3/4}/(1/2x2^{-1/2} = 2Wurzel{x2}/4x1^{3/4} \end{eqnarray}$ so wenn ich jetzt dies = 1 einsetze um nach x1 oder x2 aufzulösen komme ich auf folgendes: 2Wurzel{x2} / 4x1^{3/4} =1 , wenn ich das auflöse mit 4x1^(3/4), dann geteilt durch 2, quadrieren etc komme ich am ende auf x2= 5Wurzel{x1} ich denke aber, dass ich hier mehrere Fehler drin habe, bei der anderen Nutzenfunktion wo es nur um Quadratwurzeln geht habe ich das richtige Ergebnis, also entweder habe ich mich schon bei der partiellen Ableitung geirrt oder ich habe beim Gleichsetzen mit 1 einen Fehler. Ich suche schon seit über einer halben Stunde aber weiß nicht genau wo und wie ich das Problem lösen kann. Wäre daher nett, wenn mir hier jemand einen Stubs in die richtige Richtung geben könnte, wo der Fehler ist. Vielen Dank Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{x1} +\sqrt{x2} \end{eqnarray}$ Nachdem man die partielle Ableitung nach x1 und x2 gebildet hat komme ich auf $\begin{eqnarray} 1/4x1^{-3/4}/(1/2x2^{-1/2} = 2\sqrt{x2}/4x1^{3/4} \end{eqnarray}$ so wenn ich jetzt dies = 1 einsetze um nach x1 oder x2 aufzulösen komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} 2\sqrt{x2} / 4x1^{3/4} =1 \end{eqnarray}$ , wenn ich das auflöse mit 4x1^(3/4), dann geteilt durch 2, quadrieren etc komme ich am ende auf $\begin{eqnarray} x2= 5\sqrt{x1} \end{eqnarray}$ Edit (mY+): LaTeX-Tags gesetzt. Du musst die LaTeX-Ausdrücke noch (markieren und f(x) klicken) in Tags einschließen!
03.06.2017, 13:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die partiellen Ableitungen dürften stimmen. Was aus deinem Post NICHT hervorgeht, ist, was nachher mit den Ableitungen geschehen soll. Warum wird der Quotient gleich 1 gesetzt? Da hast du den Aufgabentext nicht vollständig und im Original geschrieben und deswegen können wir dir nicht weiterhelfen. ----------- Beim Gleichsetzen der Ableitungen entsteht $\begin{eqnarray} x_2 = 4x_1^{\frac 3 2} = 4x_1 \sqrt{x_1} \ \| \ x>0 \end{eqnarray}$ mY+
03.06.2017, 14:00	tyrell	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für die Antwort. Also im Prinzip versuche ich die Grenzrate der Substitution auszurechnen, diese dann nach c0 bzw c1 aufzulösen um sie dann in die Budgetgleichung einzusetzen um den Konsum im Zeitpunkt c0 und c1 bestimmen zu können. Also ich habe wie oben bereits geschrieben, die partielle Ableitung gebildet, diese muss ich dann = 1 setzen für Investitionen ohne Kapitalmarkt um sie dann nach c0 aufzulösen und anschließend in die Nutzenfunktion, die ich ganz am Anfang geschrieben habe einzusetzen. Da die Ableitungen richtig sind wie du sagtest, habe ich die Ableitung dann gleich 1 gesetzt und da kam bei mir c1= 5Wurzel c0 heraus, bzw in meinem Beispiel oben x2=5wurzel x1 und das kann irgendwie nicht stimmen, weil ich wenn ich dies zum Beispiel in eine der Budgetgleichungen einsetze: zb c1=5000-700+900-c0 und dann auflöse nach c0 dann steht da 5*Wurzel c0 für c1 und das kann man ja irgendwie nicht auflösen wenn ich versuche c0 auf die linke Seite zu bringen, daher muss ich beim Gleich 1 setzen irgendwo einen Fehler haben, da die ganzen Aufgaben danach auf der korrekten Berechnung von c1 und c0 beruhen darf ich hier keinen Fehler machen, daher habe ich die Frage hier im Forum gestellt
03.06.2017, 14:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, das ist ein ziemlicher Durcheinander, du bringst immer nur Bruchstücke. Wenn du das nicht verständlicher formulieren kannst, kenne ich mich jetzt leider nicht aus, sorry. WELCHe partielle Ableitung = 1? Ich sehe ja nur, dass der Quotient gleich 1 gesetzt wurde. Was sollen die c0, c1, .. Oder wie sieht einfach die komplette Gleichung aus, welche du auflösen willst? Nach WELCHER Variablen? Vielleicht blickt da ein anderer Helfer noch eher durch. mY+
03.06.2017, 14:35	tyrell	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Ausgangsnutzenfunktion lautet U= $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{x1} +\sqrt{x2} \end{eqnarray}$ , von dieser habe ich dann die partielle Ableitung gebildet, einmal nach x1 und einmal nach x2, dann kam ich auf $\begin{eqnarray} 1/4x1^{-3/4}/(1/2x2^{-1/2} = 2\sqrt{x2}/4x1^{3/4} \end{eqnarray}$ , die ja auch richtig ist wie du bereits sagtest. Mal ganz unabhängig von der Absicht wofür ich das jetzt brauche rein ökonomisch, das würde zu lange dauern das alles zu erklären, jedenfalls muss man dann diese partielle Ableitung, also den Quotienten oben, = 1 setzen. und das nach x1 oder x2 auflösen. Also im Prinzip geht es nur um eine einzige Rechnung, die bei mir meiner Meinung nach falsch ist, weil ich sie bei der ersten Nutzenfunktion, die ich hier aber nicht geschrieben habe, ein Ergebnis liefert, welches plausbibel und richtig ist. In diesem Fall hier würde die Frage also lauten: was genau kommt heraus wenn man: $\begin{eqnarray} 1/4x1^{-3/4}/(1/2x2^{-1/2} = 2\sqrt{x2}/4x1^{3/4} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 2\sqrt{x2}/4x1^{3/4} \end{eqnarray}$ = 1 setzt und dann nach x1 oder x2 auflöst. Das was ich da dann herauskriege würde ich in eine andere Budgetgleichung eintragen können, die nach dem Schema verläuft w=x1+x2 . Und wie ich oben geschrieben habe würde bei dem Ergebnis was ich da heraus habe bei x2=5Wurzel X1, herauskommen x2= Zahl- x1 und eingesetzt wäre das mit meinem Ergebnis: 5wurzel x1= zahl - x1 , und normalerweise würde man diese gleich ja uaflösen können indem man das ganze dann nach x1 auflöst, aber ich kann ja nicht x1 auf die Linke Seite bringen weil ich 5wurzel x1 und x1 nicht zusammenfassen kann um sie dann den Faktor vor dem x1 zu teilen um so auf den x1 wert zu kommen: Bei meiner ersten Nutzenfunktion, die lautet: $\begin{eqnarray} 3\sqrt{x1} +2\sqrt{x2} \end{eqnarray}$ , komme ich auf die partielle Ableitung von $\begin{eqnarray} \sqrt{x2} / (2/3) * \sqrt{x1} \end{eqnarray*}$ , wenn ich diese gleich 1 setze und dann nach x2 auflöse komme ich auf x2= 4/9x1 und dies ist korrekt. Daher vermute ich, habe ich beim gleich 1 setzen bei der ersten Nutzenfunktion oben einen Fehler gemacht.
03.06.2017, 14:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleich zu Anfang ist schon etwas unklar, was verstehst du unter "DIE partielle Ableitung" ? Partielle Ableitungen einer Funktion in mehreren Variablen werden immer nach einer der vorhandenen unabhängigen Variablen gebildet. In diesem Fall hier gibt es ZWEI, also eine nach x1 und eine nach x2. Dies sind also zwei verschiedenen Terme. Und weshalb nun bildest du von diesen beiden dann den Quotienten? [Das ist übrigens das Gleiche, wenn man beide gleichsetzt!] ---- Im Weiteren, wenn du also den Quotienten gleich 1 setzt, habe ich dir ja im ersten Beitrag bereits geschrieben, was dabei herauskommt ... mY+
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03.06.2017, 14:58	tyrell	Auf diesen Beitrag antworten »
könntest du vielleicht in zwischenschritten genau sagen wie du das gleich 1 gesetzt hast, das meinte ich nämlich. Ich habe den Rest nur zum Verständnis erklärt. also bei $\begin{eqnarray} 2\sqrt{x2} / 4x1^{3/4} =1 \end{eqnarray}$ kommt $\begin{eqnarray} x_2 = 4x_1^{\frac 3 2} = 4x_1 \sqrt{x_1} \ \| \ x>0 \end{eqnarray}$ heraus, aber ich bräuchte die zwischenschritte dafür, irgendwo muss ich da einen Rechenfehler machen, denn ich bekomme etwas anderes heraus. Danke, ich weiß es ist etwas mühselig was ich hier schreibe, vermutlich hätte ich einfach nur diese eine Aufgabe stellen sollen, ich hab hier eher ein mathematisches Problem und kein Verständnisproblem mit der Aufgabe allgemein EDIT: wenn ich das 4x1^(3/2) in meine Formel einsetzen würde zum Beispiel: x2=4x1^(3/2) dann würde da laut meiner Gleichung hier in der FOrmel stehen: 4x1^(3/2) - x1 = 2199 , und die Frage ich ich dann hatte bzw wo ich dann nicht wusste ist, wie kann ich das dann nach x1 auflösen. ich kann ja nicht einfach 4x1^(3/2) und x1 zusammenfassen oder ?
03.06.2017, 15:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fehler liegt bereits bei der Bildung des Quotienten, du bekommst 2/4, in Wirklichkeit wird das aber zu 4/2 (Fehler beim Auflösen des Doppelbruches!) Besser ist, du setzt die beiden Ableitungen direkt gleich. Und statt dessen kannst du auch die Kehrwerte der Brüche gleichsetzen, damit erspart man den Doppelbruch! $\begin{eqnarray} \frac 1 {4x_1^{\frac 3 4}} = \frac 1 {2 \sqrt x_2} \end{eqnarray}$ Umkehren, quadrieren, kürzen .. : $\begin{eqnarray} 4x_2 = 16x_1^{\frac 3 2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
03.06.2017, 15:28	tyrell	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also die Rechnugn habe ich sogar einmal in einer Nebenrechnug auf meinem Zettel hier auch so, nur wo ich dann Probleme habe wie beschrieben ist. wenn ich das dann in der Gleichung auflösen soll bei mir steht dann 4x1^(3/2) - x1 = 2199 , und wie soll ich das nach x1 auflösen, ich muss da ja am Ende eine eindeutige Zahl für x1 herausbekommen.
03.06.2017, 17:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{eqnarray} 4x \sqrt x - x - 2199 = 0 \end{eqnarray}$ ist mittels eines Näherungsverfahrens (Newton, Sekantenverfahren, ..) zu lösen. Wähle als Startwert 60 (oder 65). mY+
03.06.2017, 18:30	tyrell	Auf diesen Beitrag antworten »
Also um ehrlich zu sein, das ganze wirkt mir fast schon zu kompliziert als dass es richtig sein kann. Es handelt sich dabei eigentlich nur um einen Zwischenschritt zur Berechnung der Budgetgleichung, ich kann nicht glauben, dass man da dann solche Dinge machen muss, zumal wir darüber auch gar nicht im Unterricht geredet haben. Also entweder hab ich mich irgendwo komplett geirrt und du siehst das auch nicht weil es sich ja auch um eine ökonomische Funktion handelt oder es ist wirklich so. Vielleicht sieht das ja auch jemand hier noch, der auch mit Wirtschaftswissenschaften, spezielle Finanzwirtschaft zu tun hat, ich hatte bereits andere Aufgaben und da bin ich immer ohne Probleme durchgekommen, nur bei der 4. Wurzel bei dieser Aufgabe hier kommt eine so seltsame Gleichung heraus, die man nicht so einfach auflösen kann, obwohl die Aufgaben egentlich so gestellt sind, dass es so sein müsste. Hm, ich schlafe mal eine Nacht darüber und schaue mir das morgen nochmal an, vielleicht hab ich auch einfach einen Tunnelblick heute. Eventuell sieht das Problem hier ja auch noch jemand anders aus dem Forum und weiß wo der Fehler ist. Vielen Dank Gruß
04.06.2017, 11:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um ehrlich zu sein, es ist überhaupt nichts kompliziert. Du musst erstens wissen, was partielle Ableitungen sind (es gibt - wie schon geschrieben - nicht nur EINE) und wozu sie gut sind. Potenzen und Wurzeln sollten bei der Ableitung ebenfalls keine Schwierigkeiten bereiten und die Lösungen von Gleichungen der von dir angegebenen Art werden heutezutage in der Praxis ohnehin mittels Technologieeinsatzes erstellt. Das bedeutet, du gibst die Gleichung in ein CAS ein und erstellst gegebenenfalls deren Graphen. Du siehst sofort, dass die Nullstelle in der Nähe von 70 ME liegt und kannst von dort aus noch (iterativ) verfeinern (hier kommen eh nur ganzzahlige ME in Betracht). Das CAS rechnet natürlich auch die Nullstelle direkt aus (rd. 68,5) ... Heute ist niemand mehr an langen Rechenmonstern interessiert, nur um eine Nullstelle auszurechnen. Das hat sich sogar schon bis in die (meisten) Schulen herumgesprochen. mY+

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