Stetige Fortsetzung auf L^p

03.06.2017, 21:11

zinR

Stetige Fortsetzung auf L^p

Hi,

ich möchte zeigen, dass die Identität $\begin{align*} \operatorname {id}: C([0,1],\mathbb{R} ) \to C([0,1], \mathbb{R}),~ \operatorname{id}(f)=f \end{align*}$ genau dann stetig zu einer Abbildung $\begin{align*} I : (L^p ([0,1],\mathbb{R}),\lVert \cdot \rVert _p ) \to (L^q ([0,1],\mathbb{R}),\lVert \cdot \rVert _q ) \end{align*}$ fortsetzbar ist, wenn $\begin{align*} p \geq q \end{align*}$ mit $\begin{align*} p,q \in [1,\infty[ \end{align*}$ ist.

Bisher haben wir nur wenig Information über die Räume $\begin{align*} L^p \end{align*}$ , es ist nur bekannt, dass man diesen Raum durch Vervollständigung von $\begin{align*} (C([a,b],\mathbb{R}), \lVert \cdot \rVert _p ) \end{align*}$ erhält.

Ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen weiterhelfen, bis jetzt sehe ich leider nicht, wieso das gilt.

03.06.2017, 21:41

Clearly_wrong

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Hi,

sehe ich das richtig, dass du keine Definition von $\begin{align*} L^p \end{align*}$ über messbare Abbildungen, deren $\begin{align*} L^p \end{align*}$ -Norm endlich ist, zur Verfügung hast?
Das macht aus einer eigentlich sehr einfachen Aufgabe eine etwas technische.

im Prinzip ist der Grundstein für die eine Richtung, zu zeigen, dass für $\begin{align*} p\geq q \end{align*}$ und für $\begin{align*} f\in C[0,1] \end{align*}$ gilt, dass $\begin{align*} \|f\|_q\leq C\|f\|_p \end{align*}$ für ein festes $\begin{align*} C>0 \end{align*}$ . Um da weiter Tipps zu geben, wäre etwas Kontext hilfreich. Habt ihr die Hölder-Ungleichung bewiesen? Was habt ihr sonst zum Thema Fortsetzung von Abbildungen etc. gemacht?

Kann sein, dass ich heute nicht mehr dazu komme, weiter zu antworten. Vielleicht hilft dir das schonmal weiter.

03.06.2017, 22:04

zinR

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Zitat:

sehe ich das richtig, dass du keine Definition von $\begin{align*} L^p \end{align*}$ über messbare Abbildungen, deren $\begin{align*} L^p \end{align*}$ -Norm endlich ist, zur Verfügung hast?

Genau. Im Prinzip kennen wir $\begin{align*} L^p \end{align*}$ nur aus einem Beispiel zur Vervollständigung. Ich glaube, dass wir das erst in Analysis 3 genauer besprechen.

Die Hölder-Ungleichung haben wir für $\begin{align*} \ell ^p \end{align*}$ in der Vorlesung bewiesen, und die Integralversion war dann vor einigen Wochen eine Hausaufgabe.

Habe gerade nochmal durch das Skript gesehen, und das folgende, womöglich doch sehr hilfreiche Korollar entdeckt:
[attach]44581[/attach]

Lass dir mit dem Antworten ruhig ein wenig Zeit, ich schau mal, ob ich was nützliches zu Papier bringen kann. Danke schonmal! smile

03.06.2017, 22:11

Clearly_wrong

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Das Korollar ist genau ein Satz der Sorte auf die ich gehofft hatte.

Es reicht also für die eine Richtung zu zeigen, dass die Identität gleichmäßig stetig bzgl. den entsprechenden Normen ist und das folgt eben aus der Ungleichung, die ich hingeschrieben habe, wobei hier $\begin{align*} C=1 \end{align*}$ gewählt werden kann. Versuch mal, das aus der Hölder-Ungleichung herzuleiten.

03.06.2017, 22:53

zinR

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Seien $\begin{align*} \tilde p , \tilde q \in [1, \infty[ \end{align*}$ und $\begin{align*} p^* \end{align*}$ konjugiert zu $\begin{align*} \tilde p \end{align*}$ und $\begin{align*} f\in C[a,b] \end{align*}$ .
Mit der Hölder-Ungleichung folgern wir:
$\begin{align*} \lVert f \rVert _{\tilde q}^{\tilde q} = \int\limits_0^1 \vert f(x) \vert^{\tilde q } dx \leq \lVert f ^{\tilde q } \rVert _{\tilde p} \cdot \lVert 1 \rVert _{p^*} = \left( \int\limits_0^1 \vert f(x) \vert ^{\tilde q \tilde p} dx \right) ^{1/ \tilde p} \end{align*}$ , also auch: $\begin{align*} \lVert f \rVert _{\tilde q} \leq \lVert f \rVert _{ \tilde q \tilde p} \end{align*}$ .
Wählen wir nun $\begin{align*} \tilde q = q, \tilde p= \frac{p}{q} \geq 1 \end{align*}$ , so folgt $\begin{align*} \lVert f \rVert _q \leq \lVert f \rVert _p \end{align*}$ . Korrekt?

03.06.2017, 23:00

Clearly_wrong

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Ja, bis auf eine Kleinigkeit. In der ersten Abschätzung muss in der Norm $\begin{align*} |f|^{\tilde q} \end{align*}$ stehen, da $\begin{align*} f^{\tilde q} \end{align*}$ nicht wohldefiniert ist.

Ist klar, warum daraus nun die eine Richtung folgt?

Für die andere Richtung würde ich eine Folge suchen, die bzgl. der einen Norm gegen Null konvergiert, bzgl. der anderen aber nicht. Es sollte eigentlich mit einer Folge klappen, so dass bzgl. der größeren Norm der Integrand so aussieht, wie ein Dreieck mit Grundseite $\begin{align*} 1/n \end{align*}$ und Höhe $\begin{align*} n \end{align*}$ . Ich habs nicht durchgerechnet, aber probier das mal Augenzwinkern

03.06.2017, 23:10

zinR

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Glaube es oder nicht, ich hatte kurz bevor ich die Nachricht abgeschickt habe, noch die Betragstriche in der Norm stehen... Dachte die wären redundant, ups. Big Laugh

Aber ja, es ist klar, warum die eine Richtung jetzt folgt. Ein Stetigkeitsbeweis mittels Epsilon-Delta Argument wäre jetzt sehr einfach durch die Wahl $\begin{align*} \delta = \varepsilon \end{align*}$ zu führen.

Ich schaue mir heute Abend und morgen früh noch die andere Richtung an. Ich melde mich auf jeden Fall nochmal! Danke smile

04.06.2017, 11:52

zinR

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So. Ich bin gespannt, ob das so passt:

Wir betrachen die Folge $\begin{align*} f_n(x) :=( \max \{0, -n^2 x + n \})^{1/q} \end{align*}$ . Dann gilt $\begin{align*} \lVert f_n \rVert _p^p = \int\limits_0^1 \max \{0, -n^2 x +n \} ^{p/q} dx = \int\limits_0^{1/n} (-n^2 x + n)^{p/q} dx \leq \int\limits_0^{1/n} n^{p/q} dx = n^{\frac{p}{q}-1} \xrightarrow{n \to \infty} 0 \end{align*}$ , da nach Annahme $\begin{align*} \frac{p}{q} < 1 \end{align*}$ , also folgt $\begin{align*} f_n \xrightarrow {n \to \infty} _{\lVert \cdot \rVert _p } 0 \end{align*}$ .

Gleichzeitig gilt aber: $\begin{align*} \lVert f_n \rVert _q^q = \int\limits_0^1 \max \{0 , -n^2 x +n \} dx = \int\limits_0^{1/n} (-n^2 x +n )dx = \left[\frac{-n^2}{2} x^2 + nx \right]_0^{1/n} = \frac{1}{2} \end{align*}$ , also $\begin{align*} \operatorname{id} (f_n) = f_n \xrightarrow {n \to \infty} _{\lVert \cdot \rVert _q} \left( \frac{1}{2} \right)^{1/q} \neq 0 = \operatorname{id}(0) \end{align*}$ .

Also ist $\begin{align*} \operatorname{id} \end{align*}$ nicht stetig in $\begin{align*} 0 \end{align*}$ .

04.06.2017, 12:46

Clearly_wrong

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Die Idee ist richtig, aber du kannst nicht schließen, dass $\begin{align*} f_n \end{align*}$ bzgl. $\begin{align*} \|\cdot\|_q \end{align*}$ gegen $\begin{align*} \left(\frac 12\right)^{1/q} \end{align*}$ konvergiert, dafür müsstest du ja zeigen, dass $\begin{align*} \left\|f_n-\left(\frac 12\right)^{1/q}\right\|_q\to 0 \end{align*}$ und das hast du nicht getan.

Stattdessen kannst du aber zeigen, dass diese Funktionenfolge nicht gegen die Nullfunktion konvergieren kann.

04.06.2017, 12:58

zinR

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Naja, es ist doch $\begin{align*} \lVert f_n \rVert _q = \left( \frac{1}{2} \right) ^{1/q} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \in \mathbb{N} \end{align*}$ . Also gilt wenigstens $\begin{align*} \lVert f_n \rVert _q \to \left( \frac{1}{2} \right) ^{1/q} \neq 0 \end{align*}$ . Ist das so besser? smile

04.06.2017, 13:25

Clearly_wrong

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Ja, das ist besser.

04.06.2017, 13:30

zinR

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Ok, sehr schön! Danke dir.

Ich würde dich abschließend gerne noch fragen, wie du gesehen hast, dass es mit diesem Dreieck funktioniert. smile

04.06.2017, 14:34

Clearly_wrong

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Es geht ja darum, zu zeigen, dass eine Abschätzung der Form $\begin{align*} \|\cdot\|_p\leq C\|\cdot\|_q \end{align*}$ nicht gilt, wenn $\begin{align*} p>q \end{align*}$ . Man muss also Funktionen finden, für die die eine Norm groß wird und die andere nicht so sehr. Da der substantielle Unterschied der Normen die Potenzierung mit dem Exponenten ist und sich die besonders dann bemerkbar macht, wenn die Funktion, die wir betrachten große Werte annimmt, liegt es nahe, die betrachteten Funktionen große Werte annehmen zu lassen. Wenn du jetzt gleichzeitig die Träger kleiner machst, so dass dies die größer werdenden Funktionswerte genau ausgleicht, so liegt es nahe, dass die Funktion in der anderen Norm, in der ja nicht so stark potenziert wird, immer kleiner wird.

Ich wusste außerdem aus Erfahrung, dass diese Idee funktioniert, wenn man statt Dreiecken passend skalierte Indikatorfunktionen des Intervalls $\begin{align*} I_n := \left[0,\frac 1n\right] \end{align*}$ wählt, etwa $\begin{align*} \frac{1}{n^{1/p}}1_{I_n} \end{align*}$ würde gehen. Aber da du bei deiner Definition ja stetige Funktionen brauchst, musste man eine stetige Variante dieser Idee finden. Dass das dann nicht so einen großen Unterschied machen sollte, war einigermaßen klar, deswegen hatte ich es nicht mehr durchgerechnet.

Wenn man die übliche Definition der $\begin{align*} L^p \end{align*}$ -Räume zu Grunde legt, so sind dies gerade die Räume der messbaren Funktionen, deren $\begin{align*} L^p \end{align*}$ -Norm endlich ist.
Was messbar genau bedeutet, ist hier erst mal nicht so wichtig. Du kannst für den Anfang davon ausgehen, dass alles, was man sich so vorstellen kann an Funktionen auch messbar ist.

In diesem Fall hat man dann nicht nur eine Fortsetzung der Identätsabbildung $\begin{align*} L^p\to L^q \end{align*}$ für $\begin{align*} q\leq p \end{align*}$ , das IST dann sogar die Identitäsabbildung man hat wirklich $\begin{align*} L^p\subset L^q \end{align*}$ . Umgekehrt ist im Fall $\begin{align*} q>p \end{align*}$ diese Abbildung nicht nur nicht stetig, sie ist garnicht wohldefiniert, denn die Inklusion $\begin{align*} L^p\subset L^q \end{align*}$ ist für $\begin{align*} q<p \end{align*}$ eine echte Inklusion.

Ich schreibe dies, um ein wenig Hintergrund zu der Aufgabe zu bringen. Eigentlich sind die $\begin{align*} L^p \end{align*}$ -Räume nämlich nicht irgendwelche abstrakten Vervollständigungen sondern greifbare Funktionenräume, die man sich recht gut vorstellen kann.

04.06.2017, 15:43

zinR

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Ah, alles klar. Das klingt gut.

Einiges klingt ja sehr analog zu den $\begin{align*} \ell^p \end{align*}$ -Räumen. In unserem Skript steht noch, dass die Funktionenräume $\begin{align*} L^p \end{align*}$ durch Verkleben realisiert werden.

Danke nochmal, auch für die ausführliche Erklärung.

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