Konvergenz von Reihe zeigen

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03.06.2017, 23:59	Max2341	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihe zeigen Meine Frage: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } kx^k \end{eqnarray}$ konvergiert für alle $\begin{eqnarray} x \in \left(-1,1\right) \end{eqnarray}$ ! Meine Ideen: Da fällt mir natürlich direkt die geometrische Reihe auf und über die wollte ich das ganze auch beweisen aber mir fehlt noch so der letzte entscheidene Schritt. Ich weiss, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (x^k)'=1/x\sum\limits_{k=0}^{\infty } (kx^k) \end{eqnarray}$ und, dass $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! f(x) \, dx < \infty <-> \sum\limits_{k=0}^{\infty } (kx^k) <\infty \end{eqnarray}$ aber jetzt weiss ich nicht wie ich das für $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (kx^k) \end{eqnarray}$ zeige. Ich dachte erst über $\begin{eqnarray} 1/x\sum\limits_{k=0}^{\infty } (kx^k) \end{eqnarray}$ und dem Integral, weil das Integral über der Reihe wäre ja gerade wieder (wenn ich in das Integral die 1/x) wieder reinziehe Reihe über x^k aber dann hätte ich ja nur die Konvergenz für $\begin{eqnarray} 1/x\sum\limits_{k=0}^{\infty } (kx^k) \end{eqnarray}$ gezeigt. Kann mir jemand helfen?
04.06.2017, 00:17	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn du nicht den Wert der Reihe berechnen willst, sondern nur zeigen, dass sie konvergiert, brauchst du nicht so schwere Geschütze auffahren. Das Quotientenkriterium Ist hier geeignet.
04.06.2017, 00:19	Max2341	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass ich direkt danach den Wert berechnen soll
04.06.2017, 00:24	Max2341	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber Quotientenkriterium passt schonmal, danke dafür! Jetzt muss noch der Wert her.
04.06.2017, 00:26	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Der einfachste Weg dafür ist, sich mal das Cauchyprodukt der geometrischen Reihe (mit nullten Summand) mit sich selbst anzusehen. Um deinen Weg zu verfolgen, müsstest du einiges an Vorwissen mitbringen. Etwa, dass Potenzreihen im Inneren ihres Konvergenzbereichs gliedweise differenzierbar sind oder, falls das nicht bekannt ist, Kriterien, wann man Differential und Reihe vertauschen darf. Hast du dieses Vorwissen? Falls nicht ist der andere Weg deutlich einfacher. Elementarer ist er sowieso.
04.06.2017, 00:32	Max2341	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe dieses Vorwissen, wenn ich an das richtige denke, meinst du , dass : $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{k=1}^{n} f(k)) ' =\sum\limits_{k=1}^{n} f(k)' \end{eqnarray}$ gilt, wenn die Reihe punktweise konvergent und die Reihe über die ABleitung lokal gleichmäßig konvergiert?
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04.06.2017, 00:35	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt f(k) sollte da $\begin{eqnarray} f_k(x) \end{eqnarray}$ stehen und diese Funktionen sollten differenzierbar sein. Für endliche obere Grenze ist das außerdem eh klar, interessant wird es eben für unendliche Reihen. Aber prinzipiell meine ich diesen Satz, ja. Wo hakt es denn dabei bei der Anwendung?
04.06.2017, 00:42	Max2341	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich weiss eben nicht wie ich damit zum Ziel komme, ich weiss dann zwar wie ich eine Reihe abzuleiten habe, aber was bringt mir das?
04.06.2017, 00:50	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hattest doch schon überlegt, dass deine Reihe gleich $\begin{eqnarray} x\sum_{k=1}^\infty (x^k)' \end{eqnarray}$ ist. Wenn du jetzt die Ableitung rausziehen kannst, kannst du doch den Reihenwert der geometrischen Reihe einsetzen.
04.06.2017, 01:01	Max2341	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann würde ich auf x/(1-x)^2 kommen als Ergebnis der Reihe?q
04.06.2017, 01:06	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Du musst dir aber natürlich noch überlegen, warum die Reihe lokal gleichmäßig konvergiert. Ich gehe aber jetzt schlafen.
04.06.2017, 01:07	Max2341	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, das muss ich noch zeigen und punktweise konvergenz, aber das folgt ja direkt aus lokal gleichmäßig. Ich sage danke und gute Nacht!
07.06.2017, 13:58	freudi44	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt man denn auf die lokal gleichmäßige Konvergenz? Kann mir das jemand sagen?
07.06.2017, 14:43	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du auf die Argumentation mit glm. Kgz verzichten möchtest, dann sei Dir nochmals der, von Guppi bereits vorgeschlagene, Weg über das Cauchyprodukt nahegelegt. Die erforderlichen Voraussetzungen dafür sind geschenkt und die Rechnung ist ein Halbzeiler, der neben dem Reihenwert auch die gewünschte Konvergenzaussage liefert. Setze dazu an mit: $\begin{eqnarray} \left(\frac 1{1-x}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot \sum_{n=0}^\infty x^n=\ldots \end{eqnarray}$
07.06.2017, 15:23	freudi44	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dann eine Doppelsumme, wie komm ich davon auf eine Summe?
07.06.2017, 15:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Produkt

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