Integralgleichung zeigen

04.06.2017, 13:51

Luis4451

Integralgleichung zeigen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! e^{\frac{-t^2}{2} }t^{2n+1} \, dx=2^{n}n! \end{eqnarray*}$ zeigen für alle n aus Z.

Meine Ideen:
Ich weiss, dass das Integral "ähnlich" zur Gammafunktion ist, weiss aber nicht wie ich das anwenden kann. Habe bereits partielle Integration versucht aber komme dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+2} \int_{0}^{\infty } \! t^{2n+2}*t*e^{\frac{-t^2}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ was mir nicht wirklich weiter hilft.

Jemand einen Ansatz? Danke schonmal!

04.06.2017, 15:02

10001000Nick1

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RE: Integralgleichung zeigen

Zitat:

Original von Luis4451
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! e^{\frac{-t^2}{2} }t^{2n+1} \, dx=2^{n}n! \end{eqnarray*}$ zeigen für alle n aus Z.

Die Integrationsvariable muss $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sein; und zu zeigen ist das sicherlich für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Substitution $\begin{eqnarray*} s=\frac{t^2}{2} \end{eqnarray*}$ sollte weiterhelfen.

04.06.2017, 15:13

Luis4452

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RE: Integralgleichung zeigen
Muss man mit Induktion weitermachen ?

04.06.2017, 15:18

10001000Nick1

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Wenn du die Gammafunktion und deren Eigenschaften kennst, dann ist das eigentlich nicht nötig.

04.06.2017, 15:22

Luis4452

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Nach Subst. erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2\int_{0}^{\infty } \! e^{-s} s^{2n} \, ds \end{eqnarray*}$ . Welche Eigenschaft der Gammafunktion kann ich dann nutzen?

04.06.2017, 15:23

10001000Nick1

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Rechne das nochmal nach, ich komme da auf etwas anderes.

04.06.2017, 15:26

Luis4452

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$\begin{eqnarray*} \int e^{-s} 2s^n ds \end{eqnarray*}$ so dann?

04.06.2017, 15:44

10001000Nick1

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Nicht ganz: $\begin{eqnarray*} t^2=2s \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} t^{2n}=(2s)^n \end{eqnarray*}$ ...

04.06.2017, 15:59

Luis4452

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aso dann: $\begin{eqnarray*} \int e^{-s} 2^n s^n ds \end{eqnarray*}$

04.06.2017, 16:44

Luis4451

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Wer schreibt denn hier in meinem Thread weiter verwirrt

04.06.2017, 17:15

10001000Nick1

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Ich habe zwischendurch ab und zu auch noch was anderes zu tun. Augenzwinkern

Und außerdem wüsste ich nicht, was man hier noch groß schreiben soll. Du bist doch schon fast fertig.

04.06.2017, 17:24

Luis4451

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Nein dich meine ich nicht. Ich habe den Thread verfasst und erst jetzt wieder reingesehen, aber hat wohl jemand anders den Dialog fortgesetzt Big Laugh

. Aber okay. Also ich komme auf $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! e^{-s}(2s)^n *4s \, ds \end{eqnarray*}$ und weiss, dass $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! t^{n}e^{-t} \, dt=n! \end{eqnarray*}$ .

04.06.2017, 17:38

Luis4451

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sorry falsch abgeschrieben habe es schon danke! und sorry für die Arbeit des anderen haha Big Laugh

04.06.2017, 17:43

10001000Nick1

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Achso, das meintest du. War mir auch nicht aufgefallen, weil die Namen ziemlich ähnlich sind. Augenzwinkern

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Integralgleichung zeigen

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