Berechnung eines Integrals

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04.06.2017, 14:06	StefanH	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung eines Integrals Hallo! Ich soll bzw. will folgendes Integral berechnen: [latex]\int_0^1 (log(1 - u) + 1) (log(u) +1)\ du.[\latex] Leider hab ich überhaupt keine Idee, wie ich dabei vorgehen soll. Natürlich würde mir auch die Berechnung auf einer Hälfte des Intervalls reichen, da der Integrand (und das uneigentliche Integral bzw. der Grenzübbergang) symmetrisch sein sollte. Herauskommen sollte 1 - pi^2/6. Ich bin für jede Hilfe dankbar! Liebe Grüße Stefan
04.06.2017, 14:24	LemonenEistee	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Integral lautet: $\begin{eqnarray} \int_0^1 (log(1 - u) + 1) (log(u) +1)\ du \end{eqnarray}$ . Das ganze kannst du umschreiben zu: $\begin{eqnarray} \int_0^1 (log(1 - u)log(u) + log(u) + log(1-u) +1)\ du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_0^1 (log(1 - u)log(u) du + \int_0^1 log(u) du + \int_0^1 log(1-u) +1)\ du \end{eqnarray}$ (Also einfach ausmultiplizieren) [Nachrechnen falls ich mich vertan habe] Die meisten Integrale solltes du berechnen können. Wende für das zweite Integral partielle Integration an und du solltes zum Ziel kommen. Mfg. LemonenEistee
04.06.2017, 14:26	LemonenEistee	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich meinte natürlich für das erste Integral.
07.06.2017, 13:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es stimmt zwar, daß man mit partieller Integration weiterkommt. Trivial wird das Ganze dadurch aber noch lange nicht. Die partielle Integration mit $\begin{align} G(x) = - \left( (1-x) \ln(1-x) + x \right) \end{align}$ als Stammfunktion von $\begin{align} g(x) = \ln(1-x) \end{align}$ beginnend, habe ich nach Berechnung von Teilintegralen und einigen Grenzbetrachtungen Folgendes erhalten: $\begin{align} \int_0^1 \ln(x) \cdot \ln(1-x) ~ \dd x \ = \ 2 + \int_0^1 \frac{\ln(1-x)}{x} ~ \dd x \end{align}$ Beim verbleibenden Integral setzt man die Potenzreihe für $\begin{align} \ln(1-x) \end{align}$ an. Dann erhält man mittels Abelschem Grenzwertsatz und bekanntem Reihenwert $\begin{align} \int_0^1 \ln(x) \cdot \ln(1-x) ~ \dd x \ = \ 2 - \frac{\pi^2}{6} \end{align}$
07.06.2017, 15:06	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich würde interessieren, wie genau du das Integral ausgerechnet hast. Die Potenzreihe von ln(1-x) wäre ja: $\begin{eqnarray} -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$ Der ablesche Grenzwertsatz sagt doch dann, dass mit $\begin{eqnarray} f(x):= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$ gilt, $\begin{eqnarray} f(1)= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ und dann?
07.06.2017, 16:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast noch nicht durch $\begin{align} x \end{align}$ dividiert - und vor allem: noch nicht integriert.
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07.06.2017, 19:40	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du partiell integriert?
07.06.2017, 20:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß jetzt nicht, worauf sich deine Frage bezieht. Ich habe folgendermaßen gerechnet: $\begin{align} \int_0^1 \frac{\ln(1-x)}{x} ~ \dd x \ = \ - \int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} ~ \dd x \ = \ - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_0^1 x^{n-1} ~ \dd x \ = \ - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \ = \ - \frac{\pi^2}{6} \end{align}$
07.06.2017, 20:48	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso deshalb hast du das " durch x teilen" gemeint. Ich bin fälschlichweise von $\begin{eqnarray} \int_0^1 ln(x) \cdot ln(1-x) dx \end{eqnarray}$ Ich hätte noch eine Frage: Wieso darf man Summenzeichen und Integral vertauschen und wo wendest du den abelschen Grenzwertsatz genau an?
07.06.2017, 21:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Integrand ist an der Stelle 0 stetig ergänzbar. Das Integral ist daher nur an der oberen Grenze tatsächlich uneigentlich. Man müßte daher für die obere Grenze strenggenommen mit einem $\begin{align} b \in (0,1) \end{align}$ rechnen und später $\begin{align} b \to \infty \end{align}$ gehen lassen. Potenzreihen dürfen in ihrem Konvergenzgebiet gliedweise integriert werden. Das ist unproblematisch. Beim dritten Gleichheitszeichen geht der Abelsche Grenzwertsatz ein.
07.06.2017, 21:45	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Was meinst du stetig ergänzbar bei x=0. Wenn ich l Hospital anwende für x=0 komme ich auf den Grenzwert -1. Meinst du das der Grenzwert an der Stelle demnach existiert und die Funktion so fortgesetzt werden kann?

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