Allgemeine Lösung DGL und Anfangswertproblem

04.06.2017, 17:44

EmmaWhatever

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Allgemeine Lösung DGL und Anfangswertproblem

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende zwei Aufgaben gegeben:
1.) bestimme die allg. Lsg. von y'?ysinx = 2y
2.) bestimme die Lsg. des Anfangswertproblems von:
$\begin{eqnarray*} \frac{y*y'}{1-y^{2}} = \frac{1}{x} , y(1)=-5 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe folgendes rausbekommen:
1.) die allgemeine Lösung ist: $\begin{eqnarray*} y(x)= e^{c} * e^{cos(x)} * e^{2x} \end{eqnarray*}$
Ist das richtig? ._.
2.) hier wollte ich es, wie bei der allgemeinen Lösung erst in die Integralform bringen, doch ich komme nicht weiter nach folgendem schritt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{dx} = \frac{(1-y^{2})}{y*dy} \end{eqnarray*}$
Ist das bis dahin Richtung? Wie komme ich voran? :?

Schon mal danke im Voraus smile

smile

04.06.2017, 18:04

mYthos

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RE: Allgemeine Lösung DGL und Anfangswertproblem

Zitat:

Original von EmmaWhatever
...
1.) bestimme die allg. Lsg. von y'?ysinx = 2y
...

Was soll das bedeuten? Schreibe dies bitte so, dass man es auch eindeutig lesen kann!

Zitat:

Original von EmmaWhatever
Meine Frage:
...
doch ich komme nicht weiter nach folgendem schritt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{dx} = \frac{(1-y^{2})}{y*dy} \end{eqnarray*}$
...

Die Differentiale sollen NICHT im Nenner stehen!
Um zu einer bereits separierten DGl zu kommen, "drehe das Ganze um:

$\begin{eqnarray*} \frac y {1-y^2} \dd y = \frac 1 x \dd x \end{eqnarray*}$

mY+

04.06.2017, 18:08

grosserloewe

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RE: Allgemeine Lösung DGL und Anfangswertproblem
Wink

Wink

Hallo,

Was bedeutet bei der 1. Aufgabe das ?

zur 2. Aufgabe:

mittels Trennung der Variablen habe ich erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{y dy}{1 -y^2 } =\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

Das sind einfache Integrale , die zu lösen sind.

Bin weg.

04.06.2017, 18:09

EmmaWhatever

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Erstmal Danke, und tut mir Leid für den Fehler. Statt dem Fragezeichen, soll es ein minussein. Also:
1.) bestimme die allgemeine Lösung von: y' - y*sin(x) = 2*y
smile

smile

04.06.2017, 18:10

LordKelvin

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1) Deine Lösung ist richtig. Du findest die Lösung über das Lösen des Integrals $\begin{eqnarray*} \int \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}/y(x) \mathrm{d}x = \int \sin(x) + 2 \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

04.06.2017, 18:26

mYthos

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(1)

Die Lösung stimmt nicht ganz. Vorzeichenfehler! Das Integral von sin x ist - cos x (!)
Und die Lösung schreibe bitte etwas kompakter als

$\begin{eqnarray*} y = c \cdot e^{2x-\cos x} \end{eqnarray*}$

---------------------------------

Wie ist es mit 2) ?

mY+

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04.06.2017, 18:37

LordKelvin

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Zitat:

Die Lösung stimmt nicht ganz. Vorzeichenfehler! Das Integral von sin x ist - cos x (!)

Stimmt! habe nicht genau hingeschaut..
Das Integral liefert: $\begin{eqnarray*} \log(y(x)) = 2 x-\cos(x)+C \end{eqnarray*}$ Dann muss man die Lösung nur invertieren.

04.06.2017, 18:38

EmmaWhatever

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Okay, dann ist die Nummer 1 komplett. Vielen Dank!
Bei der 2.) muss ich noch bisschen kämpfen, komme einfach nicht auf diese Form, wo dx und dy im Zähler stehen verwirrt

verwirrt

04.06.2017, 18:39

mYthos

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Du hast es doch schon (richtig) geschrieben!
Du brauchst nur noch die Brüche "umdrehen"

(sh. den "Löwenpost" Big Laugh

Big Laugh

und auch meinen davor ..)

mY+

04.06.2017, 18:45

EmmaWhatever

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Oh man, ich bin heute echt neben der Spur Hammer

Hammer

Danke, ich schreibe dann man Endergebnis so schnell wie möglich rein smile

smile

04.06.2017, 18:54

mYthos

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Alles klar, mach dir nur keinen Stress Big Laugh

Big Laugh

Zum Integral von $\begin{eqnarray*} \frac y {1-y^2} \text{ nach } y \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac y {1-y^2} = -\frac 1 2 \cdot \frac {-2y} {1-y^2} \end{eqnarray*}$ .

"Siehst" du da schon etwas?

mY+

04.06.2017, 19:13

EmmaWhatever

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Also ich habe beide Funktionen integriert und folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} ln(x) = \frac{-ln(y^{2}-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Nun wollte ich e hoch das ganze nehmen. e^ln(x) = x. Das war noch recht einfach. Aber was passiert da mit dem ganzen Bruch? verwirrt

verwirrt

04.06.2017, 20:23

mYthos

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Es fehlt noch die Konstante, diese schreiben wir als $\begin{eqnarray*} c = e^{c_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 \ln x + \ln c = \ln (y^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac c {x^2} = y^2 - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Berechne daraus y (2 Lösungen) und dann das AWP mittels -5 = y(1)

mY+

05.06.2017, 13:50

EmmaWhatever

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Wie kommst du auf ln(c)? Die Konstante wird doch einfach so "mitgeschleppt", oder? verwirrt

verwirrt

05.06.2017, 14:09

mYthos

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Als Konstante kann jeder beliebige konstante Term geschrieben werden, Hauptsache, er ist konstant!

Also ist es egal, ob $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \ln c \end{eqnarray*}$ geschrieben wird ( $\begin{eqnarray*} e^{\ln c} = c \end{eqnarray*}$ ).
Dies bietet sich wegen des Logarithmus an, der ja nachher als Exponent in die e-Potenz kommt.

Und natürlich ist das "Mitschleppen" der Konstanten wichtig, wegzulassen ist sie nicht, sonst verliert man ja die Lösungsgesamtheit.

mY+

05.06.2017, 14:12

EmmaWhatever

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Vielen Dank! Eine Frage zur Aufgabe eins hätte ich noch. Sin(x) ist gleich -cos(x), das war mir klar, aber da steht doch noch vor dem Sinus ein Minuszeichen. Das heißt, dass das cos positiv ist. Oder habe ich irgendetwas nicht beachtet?

05.06.2017, 14:26

mYthos

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Nein, vor dem $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ steht (vor dem Integrieren beider Seiten der Gleichung) ein positives Vorzeichen, weil $\begin{eqnarray*} y \sin x \end{eqnarray*}$ nach rechts gewandert ist.

$\begin{eqnarray*} y' - y \sin x = 2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = y(2 + \sin x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

05.06.2017, 14:33

EmmaWhatever

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Jetzt wieder zur Aufgabe 2, soweit habe ich alles bis hierhin verstanden und so aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} -2*ln(x) + ln(c) = ln(y^{2} -1) \end{eqnarray*}$ Da wende ich dann die e-Potenz an, also habe ich das am Ende raus:
$\begin{eqnarray*} -2*x + c + 1 = y^{2} \end{eqnarray*}$

Daraus ziehe ich dann die Wurzel, wodurch ich einen Ausdruck bekomme, womit ich nichts anfangen kann bzw. Nicht weiß, ob bis dahin alles korrekt ist verwirrt

verwirrt

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

05.06.2017, 15:27

mYthos

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Zitat:

Original von EmmaWhatever
...
-2*x + c + 1 = y^{2} [/latex]
...

Das ist leider falsch, weil du fehlerhaft delogarithmiert hast!

$\begin{eqnarray*} -2 \ln x = \ln \frac 1 {x^2} \end{eqnarray*}$

Schreibe also die linke Seite nach dem Potenzieren einfach als $\begin{eqnarray*} \frac c {x^2} \end{eqnarray*}$

Hinweis:
Wenn in LaTeX Text geschrieben werden soll, ist dieser in \text{ hier kommt der Text } einzuschließen.
Ansonsten kommt dann so eine lange Wurst heraus wie zuletzt zu sehen.

mY+

05.06.2017, 15:27

EmmaWhatever

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Die Frage hat sich schon geklärt, ich habe das eine ln falscha aufgelöst smile

smile

05.06.2017, 15:54

EmmaWhatever

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Ich bin ein hoffnungsloser Fall.. traurig

traurig

Nun komme ich immer noch nicht mit der Wurzel klar. Die Bedingung lautet y(1) = -5, aber das ist doch hier nicht der Fall, oder?

$\begin{eqnarray*} y^{2} = \frac{c}{x^{2}} +1 \end{eqnarray*}$ {daraus ziehe ich dann die Wurzel, so dass der Ausdruck rechts in der Wurzel steht und links nur noch y}

Es sind ja zwei Funktionen, da ich ja die Wurzel ziehe. Da setze ich dann jeweils eins ein, bekomme jedoch nicht -5 raus. Was habe ich dieses mal falsch verstanden? :/
Tut mir leid für die vielen Fragen...

05.06.2017, 15:56

EmmaWhatever

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Und tut mir auch Leid wegen der "Wurst", habe } am Ende vergessen.

05.06.2017, 19:44

mYthos

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Das macht doch nichts! Big Laugh

Big Laugh

(Habe ich schon berichtigt)
------------

Zur weiteren Rechnung:

$\begin{eqnarray*} y^2 = \frac c {x^2} + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2 = \frac {c + x^2}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \pm \frac {\sqrt{c + x^2}} x \end{eqnarray*}$

So.

Nun setze -5 links für y und 1 rechts für x und berechne damit c (24)

mY+

05.06.2017, 21:41

EmmaWhatever

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Sind 24 und -24 beide Lösungen für c, oder muss ich irgendetwas bei diesem Thema beachten, dass es nicht minus annehmen kann?
Das war die letzte Frage zu diesem Thema, ich bedanke mich für Ihre Hilfe Wink

Wink

05.06.2017, 21:51

mYthos

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Wir duzen uns hier im Forum, das passt schon so Augenzwinkern

Augenzwinkern

-------------
$\begin{eqnarray*} c = 24 \end{eqnarray*}$ gilt für BEIDE Funktionen, weil ja beim Berechnen von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zu quadrieren ist und sich das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ vor der Wurzel auflöst.
Also hat $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nur ein positives Vorzeichen.

mY+

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