Ungerade Funktion auf punktymmetrischem Gebiet

04.06.2017, 16:02	LordKelvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungerade Funktion auf punktymmetrischem Gebiet Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} G \subseteq \mathbb C \end{eqnarray}$ ein Gebiet mit $\begin{eqnarray} 0 \in G \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} f : G \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ eine holomorphe Funktion mit $\begin{eqnarray} f(G\cap \mathbb R) \subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(G\cap \mathbb Ri) \subseteq \mathbb Ri \end{eqnarray}$ . Man zeige, daß $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dann eine ungerade Funktion sein muß, d.h. daß für alle $\begin{eqnarray} z \in G \cap (-G) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(-z) = -f(z) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Anschaulich verstehe ich die Aussage, da das Gebiet $\begin{eqnarray} G \cap (-G) \end{eqnarray}$ Punktymmetrie besitzt, sollte auch die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ punktymmetrisch sein. Als Beweis fällt mir leider recht wenig. Ich habe mir überlegt, das Gebiet in drei Teile zu zerlegen, einen positiven Imaginärteil, einen mit Imaginärteil gleich Null und einen mit negativen Imaginärteil, wie beim Schwarzschen Spiegelungsprinzip, aber dann weiß ich noch nicht so recht weiter... Kann mir jemand weiterhelfen?
05.06.2017, 11:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungerade Funktion auf punktymmetrischem Gebiet Als holomorphe Funktion hat $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Potenzreihenentwicklung. Unter den gemachten Voraussetzungen kann man einiges über die Koeffizienten sagen.

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