Aufgabe zum Satz von Green

04.06.2017, 19:04	Satz von Green	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Satz von Green Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \int_C v dx \end{eqnarray}$ direkt und mit dem Satz von Green, wobei $\begin{eqnarray} v= (xy, x^2 ) \end{eqnarray}$ und C der Rand des Gebiets $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \leq y \leq x^\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ ist. Mit dem Satz von Green müsste ich glaube ich $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^{x^{\frac{2}{3}}} 2x-x dy dx \end{eqnarray}$ berechnen. Stimmt der Ansatz so? Mit dem direkten Weg ahbe ich Probleme, da ich nicht ganz weiß, wie ich die Integralsgrenzen wählen soll. Könnte mir da bitte jemand helfen?
06.06.2017, 11:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu berechnen ist $\begin{align} \int_C \omega \end{align}$ für $\begin{align} \omega = xy ~ \dd x + x^2 ~ \dd y \end{align}$ . Die Kurve $\begin{align} C \end{align}$ besteht aus drei Stücken, der Strecke $\begin{align} C_1 \end{align}$ von $\begin{align} (0,0) \end{align}$ bis $\begin{align} (1,0) \end{align}$ , der Strecke $\begin{align} C_2 \end{align}$ von $\begin{align} (1,0) \end{align}$ bis $\begin{align} (1,1) \end{align}$ und zurück auf dem Graphen $\begin{align} C_3 \end{align}$ mit $\begin{align} y = x^{\frac{2}{3}} \end{align}$ von $\begin{align} (1,1) \end{align}$ bis $\begin{align} (0,0) \end{align}$ . Auf $\begin{align} C_1 \end{align}$ ist $\begin{align} y=0 \end{align}$ und somit auch $\begin{align} \dd y = 0 \end{align}$ , also ist $\begin{align} \int_{C_1} \omega = 0 \end{align}$ . Auf $\begin{align} C_2 \end{align}$ ist $\begin{align} x=1 \end{align}$ , also $\begin{align} \dd x = 0 \end{align}$ . Somit gilt: $\begin{align} \int_{C_2} \left( xy ~ \dd x + x^2 ~ \dd y \right) \ = \int_0^1 \dd y \end{align}$ Und für $\begin{align} C_3 \end{align}$ gilt: $\begin{align} \int_{C_3} \left( xy ~ \dd x + x^2 ~ \dd y \right) \ = \ - \int_0^1 \left( x \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^2 \cdot \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \right) ~ \dd x \end{align}$ Das Minuszeichen vor dem Integralzeichen dient der Korrektur der Orientierung. Und jetzt alles zusammenzählen: $\begin{align} \int_C \omega = \int_{C_1} \omega + \int_{C_2} \omega + \int_{C_3} \omega \end{align}$ Dein Bereichsintegral stimmt, bis auf die Schlampereien bei der Schreibweise. Richtig ist $\begin{align} \int \limits_0^1 \int \limits_0^{x^{\frac{2}{3}}} \left( 2x - x \right) ~ \dd y ~ \dd x \ = \ \int \limits_0^1 \int \limits_0^{x^{\frac{2}{3}}} x ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$

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