Anwendung Identitätssatz

04.06.2017, 20:48

LordKelvin

Anwendung Identitätssatz

Meine Frage:
Hallo,

meine Frage ist, ob es eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt mit der Eigenschaft
$\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n}) = f(-\frac{1}{n}) =\frac{1}{n^{3}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Die Antwort ist nein, denn die $\begin{eqnarray*} f(z) = z^3 \end{eqnarray*}$ ist die enzige Funktion, die dies $\begin{eqnarray*} f(1/n)=1/n^3 \end{eqnarray*}$ erfüllt und $\begin{eqnarray*} f(z) = -z^3 \end{eqnarray*}$ ist die enzige Funktion, die $\begin{eqnarray*} f(-1/n)=1/n^3 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Aber wie kann ich das zeigen? Wahrscheinlich benötige ich den Identitätssatz.

04.06.2017, 22:37

10001000Nick1

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Eigentlich hast du schon alles gesagt, was du brauchst.

Angenommen, es gäbe eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit den geforderten Eigenschaften. Um den Identitätssatz auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z\mapsto z^3 \end{eqnarray*}$ anwenden zu können, brauchst du einen Häufungspunkt der Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C\mid f(z)=z^3\} \end{eqnarray*}$ . Welcher könnte das sein?

04.06.2017, 23:44

LordKelvin

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Der HP ist offensichtlich 0. Und dann?

05.06.2017, 00:01

10001000Nick1

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Dann wendest du, wie oben schon von dir vorgeschlagen, den Identitätssatz an.

05.06.2017, 00:57

LordKelvin

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$\begin{eqnarray*} f(1/n)=1/n^3 \end{eqnarray*}$ deutet auf $\begin{eqnarray*} f(z)=z^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-1/n)=1/n^3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} f(z)=-z^3 \end{eqnarray*}$ . Dann wählen wir $\begin{eqnarray*} a_n=1/n \end{eqnarray*}$ dann gilt für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(a_n)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. beide Funktionen besitzen einen HP in 0. Nach dem Identitätssatz müssen die Funktionen dann aber gleich sein, sind sie aber nicht. Daher gibt es keine Funktion, die diese Eigenschaften erfüllt.

05.06.2017, 02:15

10001000Nick1

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Irgendwo in deinem Beweis sollte die Funktion auftauchen, die die geforderten Eigenschaften hat (wir wollen ja annehmen, dass eine solche Funktion existiert).

Und noch ein Hinweis: Verwende für verschiedene Funktionen unterschiedliche Funktionsnamen. Sonst wird das irgendwann extrem verwirrend.

Ich würde das so machen: Angenommen, es existiert eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C \to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\frac 1n)=f(-\frac 1n)=\frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} g:\mathbb C\to\mathbb C, g(z):= z^3 \end{eqnarray*}$ . Dann besitzt die Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C\mid f(z)=g(z)\} \end{eqnarray*}$ den Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ . Nach dem Identitätssatz sind dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ gleich; Widerspruch.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} z\mapsto -z^3 \end{eqnarray*}$ taucht also in dem Beweis gar nicht auf.
(Man könnte natürlich den Beweis genauso formulieren mit $\begin{eqnarray*} g(z)=-z^3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} g(z)=z^3 \end{eqnarray*}$ .)

05.06.2017, 09:44

LordKelvin

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Da bin ich jetzt aber erstaunt, dass es gereicht hat zusagen es gibt keine solche Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die die gleichen Eigenschaften wie $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ vorweist. Vielleicht müsste man dazu sagen, dass jede holomorphe Funktion eindeutig einer Potenzreihe zugeordnet werden kann und es daher nicht zwei Funktionen geben kann, oder ist das nicht notwendig?

05.06.2017, 12:26

10001000Nick1

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Zitat:

Original von LordKelvin
Da bin ich jetzt aber erstaunt, dass es gereicht hat zusagen es gibt keine solche Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die die gleichen Eigenschaften wie $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ vorweist.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ soll nicht die gleichen Eigenschaften haben wie $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , sondern die, die in der Aufgabe stehen.

Mit Potenzreihen hat das eigentlich nichts zu tun; das einzige, was man braucht, ist der Identitätssatz.

05.06.2017, 13:04

LordKelvin

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Achso verstehe smile

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