Für welche x konvergiert die Reihe

04.06.2017, 21:16

KonverDiv

Für welche x konvergiert die Reihe

Hallo,

in einem anderen Forum fand ich:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{x^{4k} }{4+4x^{6k}} \end{eqnarray*}$

Bei anderen Aufgaben konnte man ja x^(n) oder x^(n+1) ... einfach herausziehen (Siehe Hier), unser Dozent gab uns noch als Hinweis:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to b} | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | <1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber die x einfach herausziehe, bleibt nur noch 1/4

Oder soll man dann den ganzen Term nehmen und einfach nach dem Quotientenkriterium verfahren, mit < 1?

Ich hoffe, ihr könnt mir nochmal helfen

04.06.2017, 21:40

KonverDiv

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RE: Für welche x konvergiert die Reihe
Ich habe dann einfach mal eingesetzt was dort stand:
$\begin{eqnarray*} lim\left| \frac { { x }^{ 4k+4 } }{ 4+4{ x }^{ 6k+6 } } \frac { 4+4{ x }^{ 6k } }{ { x }^{ 4k } } \right| =lim\left| \frac { { x }^{ 4 } }{ 4+4{ x }^{ 6k+6 } } \frac { 4+4{ x }^{ 6k } }{ { 1 } } \right| =lim\left| \frac { 4{ x }^{ 4 }+4{ x }^{ 6k+4 } }{ 4+4{ x }^{ 6k+6 } } \right| \end{eqnarray*}$
Der Limes für k bis Unendlich...

Die Exponenten werden ja immer größer, also zumindest alle, wo ein k drin ist. Aber insgesamt ist der Zähler größer als der Nennen für x > 1

Nur wie macht man jetzt weiter?

04.06.2017, 22:48

10001000Nick1

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Um den Grenzwert zu bestimmen, mache am besten eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} |x|<1, |x|=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ .

04.06.2017, 23:23

KonverDiv

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Ok, das deckt sich mit dem, wie ich weiter vorgegangen wäre.

Ist der Ansatz mit dem Limes denn ok so?

PS: Danke für deine Antwort! Gott

04.06.2017, 23:29

10001000Nick1

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Ja, warum nicht? Das ist ja genau das Quotientenkriterium. Augenzwinkern

05.06.2017, 09:35

KonverDiv

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Dann macht man also drei Fallunterscheidungen:

Fall 1 x > 1
Da würde ich mir jetzt den größten Exponenten ansehen, der befindet sich im Nenner.
Da der Nenner schneller wächst als der Zähler dürfte es für x > 1 also vermutlich gegen 0 gehen?
Kann man das auch besser zeigen?

Fall 2 x = 1
Der Limes geht für x = 1 gegen 1 d.h. für x = 1 konvergiert die Reihe dann

Fall 3 x < 1
Hier wechselt sich bei geradem/ungeradem k das Vorzeichen

Ich würde aber sagen, dass für x <1 und x > 1 die Reihe divergieren und die Reihe nur bei x = 1 konvergiert

Wäre klasse, wenn mir jemand bei der Fallunterscheidung nochmal unter die Arme greift Freude

Dann habe ich noch eine weitere Frage, oft gibt es ja die Aufgaben
1.) Für welche x konvergiert/divergiert die Reihe:
Arbeitet man dann wie ich das eigentlich gemacht habe, d.h. Kriterium auswählen und für x eine Fallunterscheidung?

2.) Berechnen sie den Konvergenzradius
Nutzt man hier dann die Bekannte Formel für den Konvergenzradius?

Und Allgemein, was ist bei Fällen, wo ich sowas wie nicht x^n habe also (x+3)^n x^(3n+2) ...

05.06.2017, 12:31

10001000Nick1

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Zitat:

Original von KonverDiv
Fall 1 x > 1
[...]
Kann man das auch besser zeigen?

Du könntest in Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} x^{6k+6} \end{eqnarray*}$ ausklammern und kürzen.

Zitat:

Original von KonverDiv
Fall 2 x = 1
Der Limes geht für x = 1 gegen 1 d.h. für x = 1 konvergiert die Reihe dann

Nein; schau dir nochmal an, was das Quotientenkriterium aussagt.

Zitat:

Original von KonverDiv
Fall 3 x < 1
Hier wechselt sich bei geradem/ungeradem k das Vorzeichen

Welches Vorzeichen ändert sich? verwirrt

Übrigens habe ich nicht umsonst geschrieben, dass du die Fälle für $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ unterscheiden sollst, nicht für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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