Beweis Maximum

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05.06.2017, 15:59	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Maximum Folgende Funktion ist gegeben: $\begin{eqnarray} A(\omega)= \frac{F_0}{m} \frac{1}{(\sqrt{ \omega_0^2-\omega^2)^2 + 4 \delta^2 \omega^2}} \end{eqnarray}$ Einmal ableiten und 0 setzen für Extremwert: $\begin{eqnarray} \frac{\partial A}{\partial \omega}= \frac{F_0}{m} \frac{-1}{2((\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2)^\frac{3}{2}}[2(\omega_0^2-\omega^2)(-2\omega)+4\delta^2 2 \omega]=0 \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} 4\omega(\omega^2-\omega_0^2+2\delta^2)=0 \end{eqnarray}$ daraus dann : $\begin{eqnarray} \omega=\sqrt{w_0^2-2\delta^2} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt die 2. Ableitung bilde komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{F_0}{m} \frac{(4\omega_0^2-12\omega^2-8\delta^2)\cdot (2(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2)^\frac{3}{2}-[ (4\omega_0^2\omega-4\omega^3-8\delta^2\omega)(3(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2)^\frac{1}{2}\cdot 2(\omega_0^2-\omega^2)(-2\omega)+ 8 \delta^2\omega] }{4((\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2)^\frac{1}{2} } = <br /> \frac{F_0}{m} \frac{(4\omega_0^2-12\omega^2-8\delta^2)\cdot (2(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2)-[ (4\omega_0^2\omega-4\omega^3-8\delta^2\omega)(3(2(\omega_0^2-\omega^2)(-2\omega)+ 8 \delta^2\omega)] }{4 } <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das? Kann ich vllt anders das Maximum nachweisen?
05.06.2017, 16:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Man kann das Problem etwas reduzieren. So ist $\begin{eqnarray} A(\omega)= \frac{F_0}{m} \frac{1}{\sqrt{ (\omega_0^2-\omega^2)^2 + 4 \delta^2 \omega^2}} \end{eqnarray}$ maximal an den Stellen wo $\begin{eqnarray} B(\omega) := (\omega_0^2-\omega^2)^2 + 4 \delta^2 \omega^2 \end{eqnarray}$ minimal ist. Das folgt sofort aus Monotonie-Eigenschaften von $\begin{eqnarray} x\mapsto 1/x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \mapsto \sqrt x \end{eqnarray}$ . Um genau zu sein ist $\begin{eqnarray} A(\omega)= \frac { F_0}{m} \frac 1 {\sqrt {B(\omega)}} \end{eqnarray}$ .D.h. es reicht $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ zu untersuchen und dann Eigenschaften von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zu folgern. Sonst wird man ja wahnsinnig mit den ganzen Termen.
05.06.2017, 17:14	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Danke erstmal. Wie genau soll ich das dann Untersuchen. Einmal das B(w) für größere Werte und einmal für kleinere Werte meines erecheneten Maximum auswerten?
05.06.2017, 17:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Das $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist einfach genug um die zweite Ableitung zu berechnen und damit zu gucken. Alternativ kann man mit quadratischer Ergaenzung in der Variable $\begin{eqnarray} \omega^2 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} b,c \end{eqnarray}$ finden, so dass $\begin{eqnarray} B(\omega) = ( \omega^2 \pm b)^2 + c \end{eqnarray}$ . Elementarer, aber aufwendiger. Aber natuerlich kannst du auch deins machen. Ist $\begin{eqnarray} \overline \omega \end{eqnarray}$ deine vermutete Stelle, so untersuche $\begin{eqnarray} \overline \omega \pm \epsilon \end{eqnarray}$ fuer $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ .
05.06.2017, 17:23	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum aso ok Wie hast du das gesehen, das Problem nur auf das B(w) zu reduzieren. Gibt es da ein bestimmtes Vorgehen?
05.06.2017, 17:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Du willst das Verhalten in $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ untersuchen. Also versucht man erst einmal alles zu ignorieren was nicht von $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ abhaengt. Hier war es zuerst der Vorfaktor $\begin{eqnarray} \frac {F_0} m \end{eqnarray}$ . Dann kam ein Bruch, und der Zaehler haengt nicht von $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ ab. Wird also auch wegreduziert, und man merkt sich, dass $\begin{eqnarray} x \mapsto \frac 1 x \end{eqnarray}$ monoton fallend ist. Als naechstes kommt eine Wurzel, welche ebenso monoton ist, diesmal wachsend. Wird auch ignoriert. Und schon hat man das $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , die einzige Sache, die von $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ abhaengt.
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05.06.2017, 17:33	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Danke für deine Erklärung. Das einzige was ich nicht verstehe, warum 1/x und nicht 1/x^2. Omega kommt doch quadratisch vor?
05.06.2017, 17:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Ich sehe nicht wieso das relevant sein soll. Der Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist wie schon geschrieben $\begin{eqnarray} A(\omega)= \frac { F_0}{m} \frac 1 {\sqrt {B(\omega)}} \end{eqnarray}$ . Hier sieht man das $\begin{eqnarray} \frac 1 / \cdot \end{eqnarray}$ und die Wurzel schoen. Natuerlich kann man auch $\begin{eqnarray} C(\omega) = ( \omega_0^2 - \omega)^2 + 4\delta^2 \omega \end{eqnarray}$ definieren. Dann ist $\begin{eqnarray} B(\omega) = C(\omega^2) \end{eqnarray}$ und insbesondere $\begin{eqnarray} A(\omega)= \frac { F_0}{m} \frac 1 {\sqrt {C(\omega^2)}} \end{eqnarray}$ -- aber $\begin{eqnarray} x \mapsto x^2 \end{eqnarray}$ ist nicht monoton auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ kann sowohl positiv als auch negativ sein. Weswegen das keine hilfreiche Darstellung waere.
05.06.2017, 17:53	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum ok jetzt ist es klar Dann gilt: $\begin{eqnarray} B'(\omega)= 2(\omega_0^2-\omega^2)(-2\omega)+ 8\delta^2\omega<br /> = 4\omega^3-4\omega_0^2 \omega+8\delta^2\omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B''(\omega)= 12\omega^2 - 4\omega_0^2+8\delta^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B''(\sqrt{\omega_0^2-2\delta^2)}= 12\omega_0^2-24\delta^2- 4\omega_0^2 + 8 \delta^2= 8\omega_0^2 -16\delta^2 = 8(\omega_0^2-2\delta^2) \end{eqnarray}$ Was sehe icch jetzt daraus?
05.06.2017, 18:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Du musst präziser arbeiten. Es ist $\begin{eqnarray} B'(\omega) = 4\omega ( \omega^2 - \omega_0^2 + 2\delta^2) \end{eqnarray}$ . Das hat immer die Nullstelle $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , und nur ggf. 2 zweitere. Falls $\begin{eqnarray} \omega^2_0 - 2\delta^2 > 0 \end{eqnarray}$ so gibt es zwei verschiedene Nullstellen, bei $\begin{eqnarray} \omega^2_0 - 2\delta^2 > 0 \end{eqnarray}$ eine doppelte, und wenn $\begin{eqnarray} \omega^2_0 - 2\delta^2 < 0 \end{eqnarray}$ so gibt es keine weiteren (reellen) Nullstellen. Falls $\begin{eqnarray} \omega^2_0 - 2\delta^2 > 0 \end{eqnarray}$ , so sind die Nullstellen $\begin{eqnarray} \pm ( \sqrt { \omega^2_0 - 2\delta^2 }) \end{eqnarray}$ , und damit ist dann $\begin{eqnarray} B''(\sqrt { \omega_0^2 - 2\delta^2}) = 8 (\omega_0^2 - 2\delta^2) > 0 \end{eqnarray}$ , d.h. es liegt ein Minimum vor.
05.06.2017, 18:26	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Sry dass ich das andere vergessen habe. Ich muss nur nachweisen dass $\begin{eqnarray} w0^2-2d^2 \end{eqnarray}$ ein maximum ist. Das ist es ja dann wegen der Monotonie von 1/x
05.06.2017, 18:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Ich glaube du meinst da eine Wurzel. Und das gilt nur für $\begin{eqnarray} \omega^2_0 - 2\delta^2 \geq 0 \end{eqnarray}$ . Ansonsten ist $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ die Minimalstelle von B bzw. Maximalstelle von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ .
05.06.2017, 18:31	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximum Vielen Dank...wirklich tolle Hilfe Das habe ich gemeint

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