Grenzwert mit Hilfe von Potenzreihe

05.06.2017, 17:03	Kim1357	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Hilfe von Potenzreihe Hallihallo Ich muss mehrere Aufgaben bearbeiten und bin auf diese gestoßen, mit der ich überhaupt nicht klar komme: Berechnen Sie mit Hilfe von Potenzreihen den Grenzwert lim(x-> 0) $\begin{eqnarray} \frac{x(e^{4x}-1)}{ln(1+x^{2})} \end{eqnarray*}$ Eigentlich habe ich eher Probleme damit die Potenreihen aufzustellen. Für das obere bekomme ich mit einer Annäherung nur f(x)=0+0+0+..., doch ist das möglich? Für die ln Funktion habe ich leider keine Idee gehabt... Kann mir vielleicht jemand hierbei helfen
05.06.2017, 19:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} \ln(1 + x^2) \end{eqnarray}$ lässt sich auf Grund von $\begin{eqnarray} \ln(1+x) = x - \frac{x^2} 2 + \frac{x^3} 3 - \ldots \end{eqnarray}$ nunmehr mittels der Potenzen von $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ schreiben (setze also anstatt x --> $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ) Im Zähler stehen (nach Reduktion von 1) die Potenzen von x ab $\begin{eqnarray} 4x^2 \end{eqnarray}$ , im Nenner ab $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ . Nun dividiere Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ (Kürzung des Bruches), dann kannst du für x gleich Null einsetzen und es ergibt sich ein endlicher Grenzwert (4). mY+

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