Beweisen, dass eine Folge divergent ist

05.06.2017, 17:10

masso321

Beweisen, dass eine Folge divergent ist

Meine Frage:
Hallo alle zusammen habe eine Kurze frage ich soll schauen ob eine Folge Konvergiert oder Divergiert und das soll ich dann auch Beweisen.

Ich habe nun die Folge: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n^{2}+4}{n} \end{eqnarray*}$

diese geht offensichtlich gegen unendlich da $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n^{2}+4}{n}= \frac{n+\frac{4}{n} }{1} =n+\frac{4}{n} \end{eqnarray*}$ .

Da diese gegen unendlich geht heißt das die Folge Divergiert.

Meine Ideen:
Mein Beweis sieht wie folgt aus.

Damit eine Folge Konvergiert muss sie Zwangsläufig Beschränkt sein.

Beschränktheit heißt : $\begin{eqnarray*} \forall n\in N : |a_{n} | \leq M und M\in R \end{eqnarray*}$

die Negation davon also das an nicht beschränkt ist ist :

$\begin{eqnarray*} \exists n\in N : |a_{n} | > M und M\in R \end{eqnarray*}$

Und das ist zu zeigen.

und da unser an ja gegen unendlich geht werden wir immer ein n finden Können sodass an> M ist..

würde das so gehen ?

05.06.2017, 17:19

G050617

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RE: Beweisen das eine Folge Divergent ist
Nach dem Kürzen ist doch evident/gezeigt, dass Divergenz vorliegt. Was soll man da noch beweisen?
Die Menge N ist unendlich und die Unendlichkeit hat nunmal keine Grenze.

05.06.2017, 18:35

Clearly_wrong

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RE: Beweisen das eine Folge Divergent ist

Zitat:

Original von G050617
Nach dem Kürzen ist doch evident/gezeigt, dass Divergenz vorliegt.

Genau darum geht zu Beginn des Mathematikstudiums. Man muss lernen, jeden einzelnen Schritt zu begründen und eben nicht zu sagen "das ist doch klar" oder "hier muss nichts mehr gezeigt werden".

@masso321: Dein Anfang sieht schon gut aus. Wäre die Folge konvergent, so wäre sie beschränkt. Wir können also die Konvergenz widerlegen, indem wir Unbeschränktheit zeigen.

Leider ist dir die Negation der Beschränktheit nicht sonderlich gut gelungen. Das liegt daran, dass du die Beschränktheit selbst nicht besonders sauber aufgeschrieben hast. Wie das $\begin{align*} M \end{align*}$ darin quantisiert ist, ist überhaupt nicht klar. Hier zeigt sich, dass man exakt arbeiten muss und nichts dahin schludern darf.

Richtig wäre: Es gibt $\begin{align*} M\in \mathbb R \end{align*}$ , so dass für alle $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} |a_n|\leq M \end{align*}$ . Die Negation davon ist dann

Für alle $\begin{align*} M\in \mathbb R \end{align*}$ gibt es $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ mit $\begin{align*} |a_n|> M \end{align*}$ .

Jetzt zeige dies formal. Als Tipp gebe ich noch, dass man hier die archimedische Anordnung der reellen Zahlen braucht.

08.06.2017, 00:06

Masso321

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RE: Beweisen das eine Folge Divergent ist
Hallo Cleary_wrong Tut mir leid das ich so spät antworte, da der Kollege sagte ich muss nichts mehr zeigen dachte ich das wärs von der Aufgabe.

Nun zu der Aufgabe:

Also gedanklich kann ich mir das sehr gut vorstellen denn für jede zahl M element R kann ich ein n element N finden sodass |an| > M da ja an gegen unendlich geht..

Wie kann ich das Formal zeigen ...

Komme ich da etwa mit dem Archimedes-Axiom weiter ?

08.06.2017, 00:37

Masso321

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RE: Beweisen das eine Folge Divergent ist
Ich meine ich kann mir das eigentlich sehr gut vorstellen.
Wir werden Immer ein n element N finden sodass an größer ist als M verwirrt

08.06.2017, 00:55

Clearly_wrong

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Zitat:

Komme ich da etwa mit dem Archimedes-Axiom weiter ?

Genau das braucht man hier. Was besagt es denn?

08.06.2017, 01:12

Dopap

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RE: Beweisen, dass eine Folge divergent ist
nur mal so nebenbei bemerkt :

Zitat:

Original von masso321

Beschränktheit heißt : $\begin{eqnarray*} \forall n\in N : |a_{n} | \leq M und M\in R \end{eqnarray*}$

Du solltest ... und ... woanders unterbringen, sonst könnte man meinen, dass das samt dem Operator "und" zur Aussage gehört. De Morgan lässt grüßen.

sauberer sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \exists M\in \mathbb R , \,\forall n\in \mathbb N : |a_n| < M \end{eqnarray*}$

und als Negation:

$\begin{eqnarray*} \forall M\in \mathbb R, \, \exists n\in \mathbb N : |a_n| \geq M \end{eqnarray*}$

obwohl mir die gespiegelten A , E gar nicht gefallen. unglücklich

08.06.2017, 01:13

Clearly_wrong

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Das habe ich doch oben schon geschrieben verwirrt

08.06.2017, 01:19

Dopap

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du hast recht falls es nicht nachträglich eingefügt wurde. Wenn du mathjax verwendest steh' ich ebenfalls im Dunkeln.

08.06.2017, 12:03

Dopap

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noch schöner sieht es aus, wenn man die Mengen aus der Zeile "rausnimmt":

$\begin{eqnarray*} \bigvee_{M\in \mathbb R}\,\bigwedge_{n\in \mathbb N}|a_n|<M \end{eqnarray*}$

bei umfangreicheren Aussagen mit mehreren Variablen ist das dann wesentlich leichter lesbar als das entsprechende Ungetüm mit \exists und \forall

10.06.2017, 20:05

masso321

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Das archimedische Axiom besagt:

Zu je zwei Größen y>x>0 existiert eine natürliche Zahl n Element N mit nx> y.

wie kann ich das aber auf meinem fall anwenden verwirrt

11.06.2017, 00:46

Clearly_wrong

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Wenn du zunächst $\begin{align*} n+\frac 4n\geq n \end{align*}$ abschätzt, kannst du das Prinzip auf $\begin{align*} y=M, x=1 \end{align*}$ anwenden.

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