Oberflächenintegral Interpretation

05.06.2017, 20:40

Philip122

Oberflächenintegral Interpretation

Meine Frage:
In der Vorlesung hatten wir sozusagen 2 verschiedene Definitionen zum Thema Oberflächenintegral:

1) Oberflächenmaß: $\begin{eqnarray*} \sigma(M):=\int_{\psi^{-1}(M)} \! \sqrt{g_{\psi}(y)} \, d\lambda(y) \end{eqnarray*}$

2) Oberflähenintegral: $\begin{eqnarray*} \int_{M} \! f(x) \, d\sigma(x):= \int_{\Omega} \! f(\psi(y))\sqrt{g_{\psi}(y)} \, d\lambda(y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M=\psi(\Omega) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei 1) rechnet man sich die Oberfläche der Menge M aus, aber was rechnet man sich anschaulich mit 2) aus?

Durch einige Überlegung bin ich auf folgendes gestoßen:
Bsp: ich betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{R^{2}-x^{2} -y^{2} } \end{eqnarray*}$ , die eine Halbkugel mit Radius R beschriebt.
Weiters sei $\begin{eqnarray*} B=\left\{ (x,y)\in \mathbb R ^{2}: x^{2} +y^{2} =R^{2} \right\} \end{eqnarray*}$
Dann ist:
$\begin{eqnarray*} \int_{B} \! f(x,y) \, d\sigma(x,y) =\left[\psi=(rcos(\phi),rsin(\phi)); \sqrt{g_{\psi}(r,\phi)}=r \right]=\int_{0}^{2\pi} \! \int_{0}^{R} \! \sqrt{R^{2}-r^{2}}r \, dr \, d\phi= \frac{2}{3}R^{3}\pi \end{eqnarray*}$

Was ja dem Volumen der Halbkugel entspricht....

Berechnet man also mit dem Oberflächenintegral $\begin{eqnarray*} \int_{M} \! f(x) \, d\sigma(x):= \int_{\Omega} \! f(\psi(y))\sqrt{g_{\psi}(y)} \, d\lambda(y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M=\psi(\Omega) \end{eqnarray*}$ das Volumen zwischen M und der Funktion f? Und wenn ja, worin besteht dann der Unterschied zu $\begin{eqnarray*} \int_{M} \! f(x) \, d\lambda(x) \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank im vorraus!!

05.06.2017, 21:30

005

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RE: Oberflächenintegral Interpretation
Stell Dir vor, auf einer Flaeche $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist eine (variable) Flaechendichte $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ gegeben (z.B. Masse oder Ladung pro Flaecheneinheit). Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_F \rho\,d\sigma \end{eqnarray*}$

die Gesamtmasse/Gesamtladung der Flaeche.

Geometrische Deutungen des Oberflaechenintegrals wuesste ich keine.

06.06.2017, 09:47

Ehos

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Tatsächlich kann man man das Oberflächenintegral $\begin{eqnarray*} \int f(x,y)\,dxdy \end{eqnarray*}$ als Volumen interpretieren, das zwischen der der Fläche f(x,y) und der xy-Ebene "eingeklemmt" ist.

Die Intepretation von 005 ist aber auch richtig: Stell' dir vor, die xy-Ebene wurde ungleichmäig mit Farbe bestrichen, so dass an jeder Stelle x,y der Fläche eine unterschiedliche Farb-Dichte f(x,y) vorliegt. In diesem Falle kann man das Oberflächenintegral $\begin{eqnarray*} \int f(x,y)\,dxdy \end{eqnarray*}$ als die Masse der gesamte Farbschicht interpretieren.

06.06.2017, 16:04

005

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Zitat:

Original von Ehos
Tatsächlich kann man man das Oberflächenintegral $\begin{eqnarray*} \int f(x,y)\,dxdy \end{eqnarray*}$ als Volumen interpretieren, das zwischen der der Fläche f(x,y) und der xy-Ebene "eingeklemmt" ist.

$\begin{eqnarray*} \int f(x,y)\,dx\,dy \end{eqnarray*}$ ist aber kein Oberflaechenintegral, sondern ein gewoehnliches Bereichsintegral. Dass man das als Volumen unter dem Graphen interpretieren kann ist klar. Oberflaechenintegral ist aber was anderes. Siehe Definition.

06.06.2017, 16:15

system-agent

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Zitat:

Original von 005
Oberflaechenintegral ist aber was anderes. Siehe Definition.

Nein, nicht wirklich, die Interpretation ist im Wesentlichen dieselbe: es gibt das "Volumen" unter dem Graphen der Funktion und der Oberfläche an. Nur muss die Längenmessung an die Oberfläche angepasst werden, was genau durch den Metrikterm $\begin{eqnarray*} \sqrt{g_{\psi}} \end{eqnarray*}$ erreicht wird.

06.06.2017, 16:48

005

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Und wie uebersetzt sich das in eine anschauliche geometrische Interpretation fuer das Flaechenintegral selber? Dass man nach dem Eintragen einer Parametrisierung fuer die Flaeche wieder bei einem Bereichsintegral landet, ist bekannt:

$\begin{eqnarray*} \int_F f(x,y,z)\,do=\int_B f(\Phi(u,v))|\Phi_u\times\Phi_v|\,d(u,v) \end{eqnarray*}$ .

Und nun? Erklaere mal, wie sich das Volumen unter $\begin{eqnarray*} f\circ\Phi \end{eqnarray*}$ ueber $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , das man mit dem Integral rechts ausrechnet, "anschaulich" auf das Flaechenintegral links uebertraegt.

06.06.2017, 19:18

005

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Und wenn Du Dir das wie hier

books.google.de/books?id=8EgeBAAAQBAJ&pg=PA106

denkst, dann solltest Du beachten, dass man die Funktion ueber der Kurve in eine freie Extradimension zeichnet. Das ist notwendig, weil sonst die Flaeche drunter nicht stimmt, bzw. sich gar nicht erst richtig zeichnen laesst.

Wenn Du das fuer ein Oberflaechenintegral analog machen willst, musst Du den Graphen von $\begin{eqnarray*} f|_F \end{eqnarray*}$ ueber $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ in einer vierten Dimension zeichnen. Das Volumen zwischen $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und dem Graphen von $\begin{eqnarray*} f|_F \end{eqnarray*}$ ist dann ein verbeultes dreideimensionales Volumen in 4D. Genaueres kann ich dazu nicht sagen, weil bei mir die Anschauung in 4D nicht mehr funktioniert.

06.06.2017, 19:42

philip122

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Aber irgendwas muss es ja mit Volumen zu tun haben....

Bei meinen Beispiel oben berechne ich ein OBERFLÄCHENINTEGRAL nach Definition und bekomme genau das Volumen zwischen dem Integrationsbereich und der Funktion raus...
verwirrt

06.06.2017, 19:52

philip122

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Mir ist natürlich klar, dass ich die Funktion (Skalarfeld) f(x) ( $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R ^{d} \end{eqnarray*}$ ) mit allen möglichen belegen kann. Wie Sie zum Beispiel schon erwähnt haben, Dichte; oder im Elektromagnetismus Flächenladungsdichte.....

aber wenn ich jetzt für mein Skalrfeld f wirklich das Feld wähle, dass jeden Punkt eine Höhe zuordnet, bekomme ich das Volumen zwischen den Integrationsbereich (der hier im Unterschied zu dem "normalen" Lebesgue integral auch in die f(x) Achse ausbreiten kann) und dem "Höhenfeld". Oder ist das im allgemeinen nicht so, und bei meinem Beispiel mit der Halbkugel nur Zufall?

06.06.2017, 20:39

005

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Dein Beispiel hab ich mir bis jetzt gar nicht genau angeschaut. Wenn aber die Flaeche in der xy-Ebene liegt und die Funktion f nicht von z, sondern nur von x und y abhaengt, dann ist Flaechenintegral und Bereichsintegral dasselbe. Das sind langweilige Beispiele. Du hast da einfach nur ueber einen Kreis in Polarkoordinaten integriert.

Ausserdem geht das Flaechenintegral dann nicht ueber B, sondern ueber B x {0}. Und beim Parametrisieren und bei der Gramschen Determinante hast Du z einfach unter den Tisch fallen lassen, anstatt mit z=0 zu arbeiten. Das faellt zwar im Beispiel nicht weiter auf, ist aber trotzdem falsch.

07.06.2017, 08:51

system-agent

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Zitat:

Original von 005
Dass man nach dem Eintragen einer Parametrisierung fuer die Flaeche wieder bei einem Bereichsintegral landet, ist bekannt:

$\begin{eqnarray*} \int_F f(x,y,z)\,do=\int_B f(\Phi(u,v))|\Phi_u\times\Phi_v|\,d(u,v) \end{eqnarray*}$ .

Und nun? Erklaere mal, wie sich das Volumen unter $\begin{eqnarray*} f\circ\Phi \end{eqnarray*}$ ueber $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , das man mit dem Integral rechts ausrechnet, "anschaulich" auf das Flaechenintegral links uebertraegt.

Naja, auf der rechten Seite steht ja im Wesentlichen ein Integral über die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also nach einigen Interpretationen also das Volumen unterhalb des Funktionsgraphen. Der Metrikterm sorgt dafür, dass die Geometrie der Fläche mit einbezogen wird. Ich denke man sollte sich immer vor Augen führen, dass das "Flächenintegral" mit der konstanten Funktion $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ die Oberfläche ergibt. Dieser Wert ist, von Einheiten abgesehen, gleich dem Volumen unterhalb der konstanten Funktion $\begin{eqnarray*} f=1 \end{eqnarray*}$ , sofern man diese Funktion mithilfe einer Extradimension oberhalb der Fläche zeichnet. Das ist eine analoge Interpretation des "normalen" Bereichsintegrals: auch hier wird nur über einen zweidimensionalen Bereich integriert, die Anschauung als Volumen unter dem Graphen verlangt ebenfalls nach der dritten Dimension.

Vom mathematischen Standpunkt aus ist ein Begriff wie "Extradimension" extrem lästig und es wird versucht alles alleine mit der inneren Geometrie der Fläche selbst zu erklären.

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