Sind die folgenden Mengen Untergruppen?

06.06.2017, 12:50

LaLiLuLinsky

Sind die folgenden Mengen Untergruppen?

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich habe zwei Mengen von denen ich zeigen oder widerlegen soll, dass die Untergruppen von (R,+) sind.

Die erste Menge ist U={0,2,4,6,8,10} und die zweite M={a+b*?2 | a,b ? Z }

Meine Ideen:
U ist meiner Meinung nach keine Untergruppe, da z.B. die Verknüpfung von 8 und 10 nicht mehr ? in U ist.

Bei der zweiten Menge bin ich mir unsicher. Vermute allerdings, dass es eine Untergruppe ist. Wie kann ich in diesem Fall zeigen, dass a verknüpft mit b wieder ? in M ist? Und wie funktioniert es mit dem inversen Element?

Vielen Dank für eure Hilfe!

06.06.2017, 18:35

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass U keine Untergruppe ist, hast du ja schon bewiesen. Soll das Fragezeichen ein Wurzel sein ? Beachte, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$ eine additive Gruppe ist, das inverse Element von $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -a-b\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ , also sicher kein Problem. Du musst nicht $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verknüpfen, sondern $\begin{eqnarray*} x=a+b\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=c+d\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ .

06.06.2017, 20:03

LaLiLuLinsky

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ? soll eine Wurzel sein. Und das andere ? soll ein Elementzeichen sein.

Ich sehe gerade, dass ich mich falsch ausgedrückt habe. Das ich zwei beliebige Element miteinander verknüpfen soll, war mir schon klar. Allerdings habe ich diese beim schreiben eben wieder a und b genannt - wie dumm von mir.

Also habe ich x+y
=> a+b $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ + (c+d $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )

Woher weiß ich jetzt, dass das noch in M ist?

06.06.2017, 20:05

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du die Summanden nicht etwas anders anordnen, sodass man die gewünschte Struktur wiedererkennt?

07.06.2017, 11:17

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt wie in jedem Körper unter anderem auch das Kommutativgesetz der Addition.

07.06.2017, 18:03

LaLiLuLinsky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Clearly_wrong
Kannst du die Summanden nicht etwas anders anordnen, sodass man die gewünschte Struktur wiedererkennt?

Wenn ich das umforme bekomme ich:

(a+c) + (b+d)* $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

(a+c) ist ja wieder ein Element in Z, genauso wie (b+d). Also ist der Ausdruck Element in M. Richtig?

07.06.2017, 18:14

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig

07.06.2017, 18:33

LaLiLuLinsky

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schon mal vielen Dank für eure Hilfe! Ich habe das Prinzip nun scheinbar verstanden.

Allerdings habe ich hier nun noch ein Beispiel aus dem R^2:

Gegeben sei die Menge {(r,5r+1) | $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ }

Diese überprüfe ich nun auf Abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfung + (Vektorplus).

Ich nehme nun also wieder zwei Elemente x = (a,5a+1) und y = (b,5b+1). Diese verknüpfe ich zu: (a+b , 5(a+b)+2). Das wäre dann doch nicht mehr in der Menge, oder?

07.06.2017, 18:46

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Außerdem hat diese Menge kein neutrales Element.

07.06.2017, 18:52

LaLiLuLinsky

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist es keine Untergruppe

07.06.2017, 19:04

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, offensichtlich nicht. Geometrisch ist das die Gerade y=5x+1, die geht ersichtlich nicht durch den Nullpunkt, ist also kein Untervektorraum von R².

Neue Frage »

Antworten »

Sind die folgenden Mengen Untergruppen?

Verwandte Themen