Polynomielle Faktorringe

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Polynomielle Faktorringe
Hallo liebes Forenteam,

ich versuche, für folgende Ideale I den Faktorring zu bestimmen und anzugeben, ob die Faktorringe jeweils nullteilerfrei und sogar Körper sind:

a) das vom Polynom 3 erzeugte Ideal (3)
meine Idee: (3)== alle Polynome, deren Koeffizienten Vielfache von 3 sind

ist nullteilerfrei und ein Körper

b) das vom Polynom x erzeugte Ideal (x)
meine Idee: (x)== alle Polynome mit =0

ist nullteilerfrei und ein Körper

c) das vom Polynom erzeugte Ideal
meine Idee:

ist kein Körper, weil x ein Nullteiler ist

d) das vom Polynom erzeugte Ideal
bisher habe ich nur auf umgeformt und kenne mich sonst leider nicht aus
ich glaube aber, dass es sich um einen Körper handelt, weil der Ring auf mich nullteilerfrei wirkt

e) das vom Polynom erzeugte Ideal
hier habe ich auf umgeformt und wegen dieser Gleichung die Vermutung aufgestellt. Außerdem ist doch , glaube ich, und weil die Ideale gleich sind, müssen auch die zugehörigen Faktorringe gleich sein oder?

f) Ist nullteilerfrei; sogar ein Körper?
Meine Vermutung ist, dass das schon nullteilerfrei ist, und dass , aber ich kann es irgendwie nicht begründen, falls es überhaupt stimmt.

Hoffe, ihr könnt mir helfen, weil das doch eher eine Aufgabe ist, bei der es um grundlegendes Verständnis geht und ich mich da schon gern auskennen würde...
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

generelle Anmerkung:
Ring, bzw. alle algebraischen Objekte, sind nicht gleich oder isomorph zu Mengen.
Algebraische Objekte haben Zusatzstrukturen (Addition, Multiplikation u.ä.) die Mengen nicht haben.
Und ein paar deiner Gleichheiten sind auch dann falsch, wenn man die zu Grunde liegenden Mengen der Ringe betrachtet.

a) ja, der Ring ist isomorph zu
b) verrätst du mir das Inverse zu 2?
c) richtig
d) Welche Sätze zu Hauptidealringen kennst du? Oder zu irreduziblen Elementen?
e)
Zitat:
Außerdem ist doch ,

Nein. Die Linke Seite einthält x²+1, die rechte nicht.
f) Deine Vermutung ist richtig. Und diese Vermutung zu beweisen ist ein sehr wichtiger Schritt zum Verständnis.
In der Algebra ist es sehr wichtig Isomorphie von Objekten zeigen zu können.
Der Trick ist fast immer derHomomorphisatz.
Finde also eine surjekte Abbildung mit Kern (3).
Das klingt schwieriger als es ist, die offensichtlichste Abbildung tut's hier, wie sehr oft.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tatmas, danke für deinen Beitrag!

b) Jetzt hoffentlich richtig: Der Ring mit Trägermenge ist zwar nullteilerfrei, aber kein Körper, weil die Elemente 1 und -1 die einzigen sind, deren multiplikative Inverse auch im Ring liegen.

d) Folgenden zum Beispiel: Sei irreduzibel. Dann ist der Faktorring L:=K[x]/(f) des Polynomrings K[x] nach dem von f erzeugten Hauptideal (f)=fK[x] ein Körper.

Und das Polynom ist irreduzibel in unserem Polynomring, weil es, wenn es reduzibel wäre, in zwei lineare Faktoren zerfallen müsste, also zwei Polynome, vom Grad 1, und dann hätte es eine Nullstelle in , aber hat keine Nullstelle in , daher zerfällt es nicht in Faktoren, die keine Einheiten sind und darum ist es irreduzibel. Also ist ein Körper.
Falls das richtig ist, müssen wir noch die Trägermenge von bestimmen, das ist mir bislang leider nicht gelungen.

e) Hier würde ich die gleiche Begründung nehmen wie in d):
Es ist zwar das Produkt von 3 und , aber 3 ist eine Einheit in (ich hoffe, das stimmt, dass es eine Einheit ist?) und das Polynom hat keine Nullstelle in , ist also irreduzibel und daher ist ein Körper.
Falls das stimmt, fehlt auch hier noch die Bestimmung der Trägermenge.

f) Ist der gesuchte Homomorphismus (ist dieser eindeutig?)?
Dann sagt uns der Homomorphiesatz, dass isomorph zu ist.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das, was ich geschrieben habe bzw. weiß jemand die Antwort auf meine Fragen?
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, kann sich bitte noch jemand meinen vorletzten Beitrag anschauen und mir einen Tipp geben, wie man die Elemente von und bestimmt?
Weil es würde mich wirklich interessieren und ich komm einfach nicht selbst drauf. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind keine Körper sondern Ringe. Wenn man den Polynomring über einem Körper nach einem irreduziblen Polynom faktorisiert, erhält man einen Körper, nicht aber, wenn man den Polynomring über einem Ring faktorisiert.
Das erste Beispiel ist der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Im zweiten Beispiel ist 3 keine Einheit, also das Polynom reduzibel.
 
 
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis, danke, dass du mir wieder hilfst!!

Okay, also den Satz habe ich dann falsch verstanden gehabt. Gibt es denn auch Fälle, in denen bei Faktorisierung "zufällig" ein Körper herauskommt, obwohl man den Polynomring nicht über einem Körper bildet?

d) ist also kein Körper

e) Was meinst du mit dem Ring der Gaußschen Zahlen? Ist das ? Ich habe mir nämlich überlegt, dass isomorph zu sein müsste, weil i eine Nullstelle des Polynoms ist, stimmt das?

f) Ja richtig, zu glauben, dass 3 eine Einheit ist, war dumm, es ist ja kein Teiler des Einselementes. Sind in die Einheiten die gleichen wie in (nur aufgefasst als konstante Polynome 1 und -1 statt als ganze Zahlen)?
Und wie müssen wir bei der Faktorisierung anders vorgehen, wenn es sich um reduzible statt irreduzible Polynome handelt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Ring kenne ich mich aus, weil sein Quotientenkoerper ein algebraischer Zahlkoerper ist.
Die Einheiten von R[X] sind genau die Einheiten von R.
Wenn man andere Faktorringe betrachtet, kenne ich auch nur ein paar Grundlagen wie Definition und Homomorphiesatz. Leider kann ich mit diesen Ringen nichts weiter anfangen. Vielleicht hilft jemand weiter ... da können wir beide noch etwas lernen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es kann sein, dass hier die Verhältnisse so ähnlich sind wie beim chinesischen Restsatz. Das heißt, dass der Faktorring für teilerfremde Polynome isomorph zum direkten Produkt ist. Das verträgt sich jedenfalls gut damit, dass der Faktorring mit größeren Produkten und kleineren Idealen größer wird. Ich denke, das passt, vorstellen möchte ich mir das lieber nicht, wie gesagt weiß ich auch nicht, wozu das gut ist. In der algebraischen Geometrie muss man sich mit Ringen aller Art befassen, das ist aber nicht mein Ding.
Vorsicht Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis:

Vorsicht, das was du geschrieben hast, ist im Allgemeinen nur für Hauptidealringe richtig, z.B. wenn der Koeffizientenring wäre. Ein Gegenbeispiel für ist beispielsweise

.

Die Restklassenabbildungen und geben eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung

.

(Die Injektivität ist leicht zu sehen: Ist ein Polynom, das von geteilt wird, so wird es auch von geteilt.)

ist aber nicht surjektiv, denn sonst müsste es ein geben mit , d.h. . Betrachten modulo liefert . Der Repräsentant von in ist also eine gerade ganze Zahl.

Man sieht, dass man für einen Isomorphismus noch dazu in der Lage sein müsste, durch zu teilen.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: Danke für die Beantwortung meiner Fragen! (:

@Vorsicht: Wie meinst du das? ist doch ein Hauptidealring?
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, du meinst wsl., dass R[x], also ein Hauptidealring sein müsste?

Wie würdest du dann die Elemente und Isomorphismen von beschreiben?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es geahnt, Ringe und ich passen nicht zusammen. Es gibt einfach zu viele davon, und jede Spezies hat andere Eigenschaften und Verhaltensweisen. Fiese Biester, tut mir leid, dass ich nicht weiter weiß.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, vielleicht tust du ihnen da unrecht, und müsstest sie nur besser kennen, um sie zu lieben. (;
Kein Problem, du hast mir schon mega geholfen!

Vielleicht kann sich ja sonst jemand etwas unter vorstellen?
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmals für eure Hilfe, Elvis, tatmas und Vorsicht!
Die Frage hat sich inzwischen erledigt. Falls dennoch zufällig jemand mit der Mengenangabe eines Ringes dieser Art vertraut ist, würde mich die Antwort trotzdem interessieren, aber es ist nicht so wichtig.
Liebe Grüße
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