Taylorreihe

07.06.2017, 21:57

Bamana

Taylorreihe

Guten Abend,

ich habe eine Frage bezüglich der geläufigen Bezeichnung für eine Funktion f, die sich um den Punkt a entwickeln lässt in einer Taylorreihe. Sagt man dann einfach: f ist um a in einer Taylorreihe entwickelbar? Dann wollte ich noch wissen, was das denn nun bedeutet. Verlangen wir, dass die Taylorreihe nun gegen die Funktion f auf dem gegebenen Intervall konvergiert oder nur in einer unmittelbaren Umgebung um a?

08.06.2017, 00:16

Dopap

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Bamana
Sagt man dann einfach: f ist um a in einer Taylorreihe entwickelbar?

Ja.
Das gilt aber nur, wenn das für die ganze Definitionsmenge = Definitionsintervall der Funktion gilt

Zitat:

Dann wollte ich noch wissen, was das denn nun bedeutet. Verlangen wir, dass die Taylorreihe nun gegen die Funktion f auf dem gegebenen Intervall konvergiert [...]

Ja, siehe oben

Zitat:

[... ] oder nur in einer unmittelbaren Umgebung um a?

das ist keine mathematische Aussage. Du meinst hoffentlich den Konvergenzradius, den man genau benennen muss.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R_+ \to \mathbb R \qquad x\mapsto \ln(x) \end{eqnarray*}$ ist nicht in einer Taylorreihe entwickelbar , wohl aber

$\begin{eqnarray*} g: (0 ,2) \to \mathbb R\qquad x\mapsto \ln(x) \end{eqnarray*}$ , wenn man von $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und Radius=1 ausgeht.

08.06.2017, 07:08

Bamana

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Vielen Dank Herr Dopap.

Eine letzte Frage hätte ich noch, wenn Sie gestatten. Eine Potenzreihe ist eigene Taylorreihe. Der Konvergenzradius der Potenzreihe gleicht dann dem der Taylorreihe?

08.06.2017, 11:40

Dopap

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der Herr Dopap hat die Anfrage zur Kenntnis genommen und ist einer Beantwortung nicht abgeneigt.. smile

( am matheboard ist man per Du )

Eine per Potenzreihe definierte Funktion stimmt mit ihrer Taylorreihe überein. Punkt

Manchmal definiert man auch gängige Funktionen wie z.B $\begin{eqnarray*} \sin(x),\,x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sin(x):=\sum_{k=0}^\infty\,(-1)^{k}\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ und nicht als Umkehrfunktion von

$\begin{eqnarray*} \arcsin(x):=\int_0^x \frac {1}{\sqrt{1-t^2}}\, \dd t \end{eqnarray*}$

08.06.2017, 11:58

Bamana

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Jawoll, aber wie hängt das nun mit dem Konvergenzkreis zusammen? Dieser gibt ja an für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert. Heißt das, dass nur für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Taylorreihe dann auch konvergiert? (Das heißt das Restglied verschwindet)

08.06.2017, 19:03

Dopap

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jede Potenzreihe hat eineKonvergenzintervall=Konvergenzkreis.
Da die Taylorreihe einer Potenzreihe mit dieser identisch ist, erübrigt sich doch die Frage nach deren Konvergenzkreis - oder ?

08.06.2017, 23:21

Bamana

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Sie haben natürlich Recht Herr Dopap. Diese Frage war unnötig. Ich bitte mein ignorantes Verhalten zu entschuldigen. Forum Kloppe

09.06.2017, 04:31

IfindU

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Nur um ein paar moegliche Missverstaendnisse aufzyuklaren. Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine unendlich-oft differenzierbare Funktion. Und sei $\begin{eqnarray*} g(x) := \sum_{k=0}^\infty\frac { f^{k}(a)}{k!} (x-a)^k \end{eqnarray*}$ die Potenzreihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in a.

Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(a) = g(a) \end{eqnarray*}$ , und im Allgemeinen nicht mehr.

1.) Die Reihe in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ muss fuer kein anderes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergieren
2.) Selbst wenn die Reihe in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert, so folgt NICHT, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich wuerde tippen in eine Taylorreihe entwickelbar in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ heisst folgendes:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist unendlich oft in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . die Potenzreihe gegeben in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat einen postiven Konvergenzradius, und es gibt eine offene Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f = g \end{eqnarray*}$ in dieser Umgebung.

Um genau zu sein ist das die Definition analytisch zu sein in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

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