Diskretisierung einer Gleichung

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Sito Auf diesen Beitrag antworten »
Diskretisierung einer Gleichung
Guten Tag zusammen,

folgende Aufgabe: Für die zeitabhängige Wärmeleitungsgleichung mit und ist eine periodische Lösung in gesucht.

1.) Formulieren Sie die implizite Mittelpunktsregel für die zeitdiskretisierte Wärmeleitungsgleichung.

In einem weiteren Schritt soll dann diskretisiert werden über ein Gitter mit finiten Differenzen. Das Ziel wird es wohl sein aus der DGL ein Eigenwertproblem zu machen...

Problem ist für mich etwas die Aufgabe 1.), da ich einfach nicht genau was man von mir jetzt hier erwartet... bzw. auch wie man das macht.

Die implizite Mittelpunktsregel habe ich folgendermassen implementiert:
code:
1:
2:
3:
F = lambda y: y0-y+dt*rhs(t0,y)
guess = y0 + dt * rhs(t0,y0)
y* = fsolve(F,guess)

Wobei dies einfach einen Schritt berechnet, der dann halt so oft ausgeführt wird wie benötigt. Das scheint mir aber noch nicht wirklich das zu sein was gefordert ist...

Hoffe jemand kann etwas nachhelfen.
Gruss Sito
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde die Aufgabe etwas unglücklich formuliert. Ich vermute, Du sollst die Gleichung sehen als mit . Wie lautet für diese Gleichung die implizite Mittelpunktsregel? Du sollst diese wohl nur symbolisch hinschreiben.
 
 
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich verstehe es auch so nicht wirklich... Also , dann folgt nach der impliziten Mittelpunktsregel: und jetzt soll sein. Dann gilt: .

Leider verstehe ich immer noch nicht so ganz was mir das jetzt bringt...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst bringt Dich das tatsächlich nicht viel weiter, denn bisher wurde nur die zeitliche Koordinate diskretisiert. Nun kommt die Ortsdiskretisierung. Diese liefert Dir dann eine diskrete Version von .
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Also in der Aufgabenstellung heisst es wir sollen den Laplace-Operator angewandt auf die Funktion auf dem Gitter mittels diskretisieren, und dann das daraus folgende lineare Gleichungssystem angeben.

Wenn ich nun die Diskretisierung von oben einsetzte erhalte ich:
.

Stimmt das? verwirrt

Und ich verstehe auch noch nicht so ganz was jetzt genau das lineare Gleichungssystem sein soll... Ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass wir schlussendlich eine Gleichung der Form: erhalten, wobei Matrizen sind.. Auch das scheint nicht wirklich zu funktionieren...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht doch ganz gut aus. Jetzt ordne alles mal so, dass Du auf der linken Seite der Gleichung alle Dinge für den Zeitpunkt und auf der rechten Seite alle Dinge für den Zeitpunkt stehen hast. Die Matrixgleichung erhälst Du dann daraus, wenn Du den Vektor definierst. Für die Endpunkte musst Du die Gleichung entsprechend den Randbedingungen abändern.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also wenn ich das umschreibe erhalte ich:


Wenn ich nun den Vektor definiere dann müsste die Matrix für N=5 die Form haben, aber leider geht das mit dem oben nicht wirklich auf...

Tut mir Leid, aber jetzt komme ich gerade gar nicht mehr draus..
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas präziser, der Vektor sammelt einfach die Knotenwerte zu einem bestimmten Zeitpunkt. Schreiben wir lieber , also sammelt alle Knotenwerte zum Zeitpunkt .

Zitat:
Original von Sito



Kannst Du nun diese Gleichung in Matrixform schreiben?

Deine Matrix sieht gut aus, abgesehen von den Randwerten.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Kannst Du nun diese Gleichung in Matrixform schreiben?

Ich habs jetzt gerade noch einmal versucht, aber ich bekomme es einfach nicht hin, dass das auch sauber aufgeht.. Die Idee war es , wobei das die Matrix mit den Zeilen sein sollte.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sito
Die Idee war es , wobei das die Matrix mit den Zeilen sein sollte.


Ja, das ist schon gut. Musst Du nur noch den Summanden und auf beiden Seiten einbauen [ist mir eben erst aufgefallen: in Deiner ursprünglichen Gleichung muss es nicht sondern heissen]. Denk dazu mal an die Einheitsmatrix...
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, aber ich sehe es echt nicht.. Auch mit dem Tipp mit der Einheitsmatrix komme ich nicht wirklich weiter...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der einen Seite hast Du den Term
.
Das ist eine Zeile auf der linken Seite Deiner gesuchten Matrixgleichung. Dröseln wir das mal weiter auf: Den Teil

hast Du bereits als die -te Zeile von

identifiziert. Welche Matrix brauchst Du nun, damit

in der -ten Zeile genau

steht? Wie lautet dann die Matrixgleichung, die in der -ten Zeile den Term

stehen hat?
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