Überprüfung Äquivalenz C-r-Formel

08.06.2017, 11:49

3xplor3r

Überprüfung Äquivalenz C-r-Formel

Hi,

ich habe in meinen Unterlagen folgenden Satz stehen.

Zitat:

Wie durch quadratische Ergänzung leicht überprüft werden kann, bleibt die rechte Klammer immer positiv.

Nachfolgend das Beispiel.

$\begin{eqnarray*} C=\left(0,1-i\right)\cdot\left(\frac{1000}{\left(1+i\right)}-\frac{10}{\left(1+i\right)^{2}}+\frac{1000}{\left(1+i\right)^{3}} \right) \end{eqnarray*}$

Für die Interessierten: Die nachfolgend Darstellung zeigt den Zusammenhang zwischen Kapitalwert, Zinsfuß und Kalkulationszins und bildet die formale Grundlage.

$\begin{eqnarray*} C=\left(r-i\right)\cdot\sum\limits_{t=1}^{n}KB_{t-1}\cdot\left(1+i\right)^{-t} \end{eqnarray*}$

Ebenfalls für die Interessierten: Die folgende Zahlungsreihe liefert hierzu beispielhaft die Zahlen.

$\begin{eqnarray*} g=\left(-1000;1110;-1011;1100\right) \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich auf das Zitat zurückkommen. Ich hatte versucht den rechten Term mit $\begin{eqnarray*} \left(1+i\right)^{3} \end{eqnarray*}$ zu erweitern, um eine quadratische Gleichung zu erhalten.

$\begin{eqnarray*} C=\left(0,1-i\right)\cdot\left(\frac{1000\cdot\left(1+i\right)^{3}}{\left(1+i\right)}-\frac{10\cdot\left(1+i\right)^{3}}{\left(1+i\right)^{2}}+\frac{1000\cdot\left(1+i\right)^{3}}{\left(1+i\right)^{3}}\right) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis nach Kürzen sollte so aussehen, wobei $\begin{eqnarray*} \left(1+i\right) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ substituiert wurde.

$\begin{eqnarray*} C=\left(0,1-i\right)\cdot\left(1000x^{2}-10x+1000\right) \end{eqnarray*}$

Eine Überführung in die p-q-Formel zieht jedoch eine negative Wurzel nach sich.

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{\frac{1}{100}}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{\frac{1}{100}}{2}\right)^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Somit verwarf ich den Ansatz wieder und frage mich erneut: Wie kann ich den Term durch quadratische Ergänzung auf Positivität "leicht" überprüfen? Mir fehlt an dieser Stelle ein Ansatz. Muss ich den Term, wie angegeben, quadratisch ergänzen? Wenn ja, wie? Meine bisherige Erfahrung erstreckt sich auf einfache quadratische Gleichungen, wie beispielsweise die oben erzeugte.

Beste Grüße und vielen Dank.

08.06.2017, 11:57

IfindU

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Die pq-Formel sagt dir es gibt, dass es keine Nullstelle gibt. Da es eine quadratische Funktion ist, ist diese stetig und somit bedeuteten keine Nullstellen, dass die Funktion ihr Vorzeichen nie ändert. Da offenbar für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ die quadratische Funktion gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ divergiert, muss sie also immer positiv sein.

Kürzer wäre aber
$\begin{eqnarray*} \frac {1000} { (1 + i) } - \frac {10} { (1 + i)^2 } + \frac {1000} { (1 + i)^3 } = \frac {10} { (1 + i) } \left ( 100 - \frac 1 {1 + i} + \frac { 100} { (i+1)^2} \right) = \frac {10} { (1 + i) } \left ( 10^2 - \frac 1 {1 + i} + \left(\frac { 10} { i+1}\right)^2 \right) \end{eqnarray*}$ . D.h. man kann mal $\begin{eqnarray*} (10 - \frac {10}{i+1})^2 \end{eqnarray*}$ ausrechnen und sehen, dass der Term in der Klammer größer ist.

09.06.2017, 21:36

3xplor3r

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RE: Überprüfung Äquivalenz C-r-Formel
Klingt unmittelbar einleuchtend.

Kannst Du noch mal Deinen letzten Satz in andere Worte fassen? Mir ist selbiger noch nicht ganz klar. Was genau meinst du mit mal ausrechnen?

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