Untersuche die Reihe auf Konvergenz

08.06.2017, 11:51

KonverDiv

Untersuche die Reihe auf Konvergenz

Hallo ich habe eine Reihe die ich auf Konvergenz prüfen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{2}{(n-1)(n+1)} \end{eqnarray*}$

Mein erster Gedanke führte auf die Partialbruchzerlegung hinaus, angewandt ergab dies dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{1}{(n-1)} +\frac{-1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Bei dem ersten Term in der Reihe würde ich das Minorantenkriterium verwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)} \geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Da 1/n diviergiert, muss auch 1/(n-1) divergieren.

Bei der zweiten Reihe komme ich dann aber nicht weiter. Meine Idee war auch hier das Minorantenkriterium zu verwenden

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(n+1)} \geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist aber offensichtlich nicht richtig, wie kann ich denn zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(n+1)}<br /> \end{eqnarray*}$
konvergiert bzw. divergiert, wie müsste dann die Minorante oder Majorante aussehen?

Danke für eure Hilfe! Freude

08.06.2017, 13:14

klauss

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Es ist wohl hier hauptsächlich die Frage, welche Reihen man als konvergent voraussetzen darf. Also z. B. wenn
$\begin{align*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{2}{n^{2} } \end{align*}$
als konvergent bekannt ist, ob man
$\begin{align*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{2}{n^{2}-1 } \end{align*}$
allein aufgrund des Quadrats im Nenner auch als konvergent bezeichnen darf, obwohl es sich nicht um eine Minorante handelt.
Falls das unerwünscht ist, würde ich es so machen:
Ziehe zunächst den 1. Summanden raus, der für die Konvergenz keine Rolle spielt. Dann bleibt übrig
$\begin{align*} \frac{2}{3} + \sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{2}{(n-1)(n+1) } \end{align*}$
Mit Indexverschiebung
$\begin{align*} \sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{2}{(n-1)(n+1) } = \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{2}{n(n+2) } \end{align*}$
bekommt man dann eine Minorante.

08.06.2017, 13:30

klarsoweit

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz

Zitat:

Original von KonverDiv
Mein erster Gedanke führte auf die Partialbruchzerlegung hinaus, angewandt ergab dies dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{1}{(n-1)} +\frac{-1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

So schlecht ist der Gedanke nicht. Wenn man das weiterführt und die endliche Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^m (\frac{1}{(n-1)} - \frac{1}{(n+1)}) \end{eqnarray*}$ betrachtet,

kann man mittels der Teleskopeigenschaft der Reihe nicht nur die Konvergenz nachweisen, sondern man bekommt obendrein den Reihenwert geliefert. smile

08.06.2017, 13:49

KonverDiv

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Danke euch Beiden!

Zitat:

So schlecht ist der Gedanke nicht. Wenn man das weiterführt und die endliche Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^m (\frac{1}{(n-1)} - \frac{1}{(n+1)}) \end{eqnarray*}$ betrachtet,

Danke

Wenn ich das über die Teleskopreihe machen möchte, dann müsste ich zuerst die Partialsummen berechnen und daraus sowas wie das hier folgern?

--> 1 + -1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 -1/4
--> 1

So die Richtung, oder?

08.06.2017, 14:35

klarsoweit

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz

Zitat:

Original von KonverDiv
So die Richtung, oder?

In etwa. Du kannst ja den Reihenwert der endlichen Reihe mittels eines Terms, der irgendwie von m abhängt, ausdrücken. Davon bildest dann den Grenzwert für m gegen unendlich.

08.06.2017, 15:22

KonverDiv

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RE: Untersuche die Reihe auf Konvergenz
Toll, danke!

Hast mir echt weitergeholfen! Freude

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Untersuche die Reihe auf Konvergenz

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