Zeige nicht konstante Polynome haben Grenzwert unendlich

08.06.2017, 15:31

Steffi1990

Zeige nicht konstante Polynome haben Grenzwert unendlich

Meine Frage:
Halloo zusammen !

Wie schon in der Überschrift geschrieben, versuche ich gerade einen Beweis für folgende Aussage zu finden:

Sei p(z) ein nicht-konstantes Polynom, dann gilt : $\begin{eqnarray*} \lim_{|z| \to +\infty } |p(z)| = \infty \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Erstmal habe ich mir ein paar nicht konstante Polynome angeschaut um mir dies genauer zu überlegen und ob irgendwo was schief gehen könnte.

Also Allgemein ist ja erstmal $\begin{eqnarray*} p(z) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} z^k \end{eqnarray*}$ ein nicht-konstantes Polynom, wenn mindestens ein z im Polynom enthalten ist, oder anders herum, wenn $\begin{eqnarray*} p(z)\neq c \end{eqnarray*}$ und gemeint ist immer $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Beispiele wären nun:
$\begin{eqnarray*} p(z) = z^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(z) = 32z^3 -4z^2 + 5z -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(z) = 5iz^3 +3iz^2 \end{eqnarray*}$
für die ist ja eigentlich alle klar das die Forderung gilt, jedoch wie kann ich dies allgemin beweisen. Denn irgendwie kommt mir das schon fast trivial vor oder übersehe ich hier was?
Wenn mein Polynom $\begin{eqnarray*} p(z) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} z^k \end{eqnarray*}$ damit es nicht-konstant ist, ja mindestens ein z enthalten muss, so muss ja auch der limes davon (im Betrag) gegen unendlich gehen bei z gegen unendlch, da könnten die Koeffizienten ja auch nichts dran ändern, höchstens verlangsamen oder verschnellen oder nicht?

Wo liegt hier eigentlich der Unterschied zum Reellen ?

Würde mich über jeglich Verbesserung und Hinweise/Tipps zu einem formellen Beweis freuen!

08.06.2017, 16:12

SHigh

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RE: Zeige nicht konstante Polynome haben Grenzwert unendlich
Das sollte doch einfach Dreiecksungleichung sein.

Sei $\begin{eqnarray*} A:=\{k>0:\, a_k\ne 0\} \end{eqnarray*}$ für dein Polynom $\begin{eqnarray*} p(z) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} z^k \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nichtleer (warum?) und es folgt

$\begin{eqnarray*} |p(z)| = |\sum\limits_{k\in A\cup \{0\}}^{n} a_{k} z^k|\leq \dots \xrightarrow[|z|\to \infty]{} \infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Denn irgendwie kommt mir das schon fast trivial vor

Damit muss man vorsichtig sein smile

.
Gruß

08.06.2017, 17:52

Steffi1990

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Danke schonmal für die schnelle Rückmeldung smile

Die Menge A soll hier jetzt also die Menge der nicht-konstanten Polynome beschreiben (wenn ich das richtig verstanden habe).
Ich verstehe nich ganz deine Frage warum A nichtleer ist, worauf willst du hinaus? Wenn ja in A genau alle nicht-konstanten Polynome drin sind, dann ist dort halt was drin und sie kann ja schon nicht mehr leer sein, oder wie meinst du das?

Und deine Ungleichung ist dann ja nach Dreichecksungleichung der Form:
$\begin{eqnarray*} |p(z)| = |\sum\limits_{k\in A\cup \{0\}}^{n} a_{k} z^k|\leq \sum\limits_{k\in A\cup \{0\}}^{n} |a_{k} z^k| \xrightarrow[|z|\to \infty]{} \infty \end{eqnarray*}$

Jedoch warum fügst du unten dem A noch die {0} hinzu, das Polynom p(z)=0 wäre doch auch ein konstantes oder wie ist dies gemeint?

Und warum reicht dieser Schritt (Beträge in Summe zu ziehen) aus um die Behauptung zu zeigen, verstehe nicht ganz was ich da jetzt durch gewonnen unglücklich

(sorry bin vielleicht auch echt grad bisschen vercheckt)

08.06.2017, 18:16

SHigh

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Hallo,
bitte entschuldige vielmal für den Unsinn den ich da geschrieben habe. Es stimmt zwar alles, bringt aber nicht viel, denn die Abschätzung geht ja in die falsche Richtung... Forum Kloppe

Neuer Vorschlag (und ich hoffe, diesmal passt es):

Es sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ der Grad des Polynomes. Dann ist $\begin{eqnarray*} a_n \ne 0 \end{eqnarray*}$ und es gilt

$\begin{eqnarray*} |p(z)| = |\sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} z^k| = |z^n\cdot \left(\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_{k} z^{k-n} + a_n\right) | = \underbrace{|z^n|}_{=|z|^n \to \infty}\underbrace{|\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1} \underbrace{a_{k} z^{k-n}}_{\to 0} + \underbrace{a_n}_{\ne 0}\right) |}_{>0}\xrightarrow[|z|\to \infty]{} \infty \end{eqnarray*}$ .

Nochmals Entschuldigung, und bitte bitte verbessere mich jemand, wenn ich wieder mal Unsinn schreib smile

08.06.2017, 21:27

Steffi1990

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Naa das sieht schon viel besser aus, bin ich nur irgendwie nicht drauf gekommen Hammer

Aber richtig ist es ja aufjedenfall, super , danke dafür smile

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