Reihe (1+(n-1)!)/(n+1)! auf Konvergenz oder Divergenz prüfen

08.06.2017, 16:12

KonverDiv

Reihe (1+(n-1)!)/(n+1)! auf Konvergenz oder Divergenz prüfen

Hallo,

ich habe versucht die Reihe auf Konvergenz oder Divergenz zu prüfen, dazu habe ich das Quotientenkriterium versucht anzuwenden. Leider komme ich nicht auf eine gescheite Vereinfachung...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1+(k-1)!}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{1+(k)!}{(k+2)!} * \frac{1+(k-1)!}{(k+1)!} | \end{eqnarray*}$

oder ist es besser gleich am Anfang zu vereinfachen? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{1+(k-1)!}{(k+1)!} = \frac{1}{(k+1)!}+\frac{(k-1)!}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Im ersten Bruch hätte ich Substituiert

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z)!}+\frac{(z-2)!}{(z)!} \end{eqnarray*}$

Das wäre dann für den Ersten Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z)!}=e \end{eqnarray*}$

Der zweite Bruch würde aber im Grenzwert z -> inf unendlich werden, das verwirrt mich...

Es wäre sehr nett, wenn man mir weiterhelfen könnte Freude

08.06.2017, 21:14

HAL 9000

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Aufspaltung ist eine gute Idee, den zweiten Term kannst du vereinfachen (kürzen)

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k-1)!}{(k+1)!} = e-2 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \end{align*}$ ,

und der Reihenwert auch des zweiten Summandne lässt sich dann noch per Teleskopsumme berechnen.

08.06.2017, 23:03

MathNoob28

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Wie genau kommst du auf den Reihenwert von der linken Reihe HAL?

08.06.2017, 23:32

HAL 9000

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Mit Indexverschiebung $\begin{align*} n=k+1 \end{align*}$ bekommt man $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n!} \end{align*}$ .

Das entspricht $\begin{align*} e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \end{align*}$ mit Ausnahme dessen, dass die ersten beiden Summanden (die für n=0 und n=1) fehlen - der Rest ist hoffentlich klar.

08.06.2017, 23:35

MathNoob28

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Genial

Dankeschön smile

09.06.2017, 10:11

KonverDiv

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Wenn meine Idee gut war ist das schon ein Anfang (von euch Experten kann man halt viel lernen!).

Die Indexverschiebung hasse ich smile

(ka. ich mag das einfach nicht..) Aber in diesem Fall habe ich sie auch verstanden.

Bei dem Bruch mit den Fakultäten hänge ich noch etwas:

BSP (k+2)! = (k+1)(k+2)(k!) <-- da ist richtig...

Mit dem Minus tue ich mich noch schwer...

Ist (k-2)! = (k-2)(k-1)k! ?? KA.. Ist vermutlich falsch...

Also Herleiten kann ich es mir nur so:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k-1)!}{(k+1)!}=\frac{(k-1)!}{(k-1)!(k)(k+1)} \end{eqnarray*}$

Weil ja (k+1)! => (1.2....k)(k+1) => k!(k+1) => 1.2..(k-1)(k)(k+1) => (k-1)!(k)(k+1) ?

Wie würde das bei (k-2)! aussehen?
1.2... (k-2)(k-1)(k) => (k!)(k-1)(k) ?? Ist glaube ich falsch??

09.06.2017, 11:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von KonverDiv
Wie würde das bei (k-2)! aussehen?
1.2... (k-2)(k-1)(k) => (k!)(k-1)(k) ?? Ist glaube ich falsch??

Bei (k-2)! ist (k-2) sozusagen der "letzte" Faktor. Also: $\begin{eqnarray*} (k-2)! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (k-3) \cdot (k-2) \end{eqnarray*}$

Mithin ist: $\begin{eqnarray*} k! = k \cdot (k-1) \cdot (k-2)! \end{eqnarray*}$ smile

09.06.2017, 12:57

KonverDiv

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Danke
kann man dann wieder 1*2*...*(k-3)(k-2) als k!(k-2) schreiben?

09.06.2017, 13:21

HAL 9000

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Nein - zähl doch mal richtig durch!

$\begin{align*} 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot(k-3)\cdot (k-2) \end{align*}$ enthält $\begin{align*} (k-2) \end{align*}$ Faktoren, und zwar von $\begin{align*} 1 \end{align*}$ bis $\begin{align*} (k-2) \end{align*}$ .

$\begin{align*} k!\cdot (k-2) \end{align*}$ enthält hingegen $\begin{align*} (k+1) \end{align*}$ Faktoren, und zwar von $\begin{align*} 1 \end{align*}$ bis $\begin{align*} k \end{align*}$ und dann nochmal den Faktor (k-2), das sind also drei Faktoren mehr. unglücklich

Das haut also nicht hin. Was du vielleicht meinst ist $\begin{align*} 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot(k-3)\cdot (k-2) = (k-3)!\cdot (k-2) \end{align*}$ .

09.06.2017, 13:45

KonverDiv

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Danke dir HAL,

ich habs gemeint, aber nicht geschrieben. Danke für deine Unterstützung! Freude

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