Darstellungsmatrix zum transponieren

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08.06.2017, 17:01	sieber33	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix zum transponieren Meine Frage: Hallo. ich suche eine Darstellungsmatrix die A -> A^T erfüllt in 2x2 Matrizen. Meine Ideen: Dann wird doch die Matrix A immer von rechts an meine Darstellungsmatrix multipliziert oder? Aber welche Matrix erfüllt das?
08.06.2017, 18:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Raum der 2x2-Matrizen mit Koeffizienten aus einem Körper K ist ein 4-dimensionaler K-Vektorraum. Die Darstellungsmatrix T der Transposition ist also eine 4x4-Matrix. Wie immer stehen in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren. Wenn du keine Basis der 2x2-Matrizen kennst, so beschaffe dir eine solche, der Rest ist simple Rechenkunst. Meine Darstellungsmatrizen stehen immer links vom Vektor, der abgebildet werden soll.
08.06.2017, 19:23	sieber33	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das habe ich getan. Wenn ich mein Ergebnis testen will, also eine 2x2 matrix zu transponieren dann muss ich eine 4x4 matrix mit einer 2x2 multiplizieren. Das geht aber nicht. Wo denke ich falsch?
08.06.2017, 19:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst natürlich die 2x2-Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in der Basis der 2x2-Matrizen darstellen, dann hat sie die notwendigen 4 Koeffizienten.
08.06.2017, 19:54	sieber33	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht. Ich habe doch jetzt die Darstellungsmatrix gefunden, die mir also jede 2x2 Matrix transponieren soll. Naja dann nehme ich doch meine Darstellungsmatrix und multipliziere von rechts eine beliebige 2x2 Matrix. Verstehe ich nicht..
08.06.2017, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte gehe einen Schritt zurück und stelle eine Basis des 4-dimensionalen Vektorraums der 2x2-Matrizen auf. Eine Darstellungsmatrix wirkt niemals auf einen Vektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ (was immer das auch sein mag), sondern auf den Komponentenvektor $\begin{eqnarray} x=(x_1,...,x_n) \end{eqnarray}$
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08.06.2017, 20:04	sieber33	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja diese Basis sind gerade die Elementarmatrizen E1=(1,0,0,0) etc die an jeden Eintrag einmal eine 1 haben und sonst nullen (hoffe kann das mal hier so "vernachlässigt" schreiben). Diese setze ich dann in in die Funktion f ein ( also werden diese transponiert ) und dann erhalte ich das Bild und kann diese mit Linearkombinationen aus der Basis meines Startvektorraums darstellen, die Faktoren bilden die Spalten der Darstellungsmatrix --> 4x4 Matrix. und nun?
08.06.2017, 21:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis stimmt, jetzt musst du nur noch machen, was du geschrieben hast. Wirklich machen, nicht nur theoretisch.
08.06.2017, 22:04	sieber33	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich erhalte dann für f(E1)=E1 und f(E2)=E3 f(E3)=E2 und f(E4)=E4 also ((1,0,0,0)(0,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,0,1)) und das ist eine 4x4 Matrix .. und nun? Mit 2x2 Matrizen multiplizieren geht ja nicht.
08.06.2017, 22:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der 2. Vektor ist falsch, ist mir aber genau so egal wie dir. Schreibe die 4 richtigen Vektoren als Spalten der 4x4-Darstellungsmatrix. Sie wird dann ganz einfach mit dem Spaltenvektor (a,b,c,d) multipliziert, denn das ist die Darstellung der 2x2-Matrix in der gewählten Basis.
08.06.2017, 23:10	sieber33	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso habe ich einen Spaltenvektor 4x1? Wenn ich eine 2x2 Matrix (a,b,c,d) mit der Basis erstelle ist es doch 1E1 + 2E2 + 3E3 + 4E4 = (1,1,1,1) also die 2x2 Matrix mit der Basis dargestellt, wieso also 4x1? Das verstehe ich noch nicht.
09.06.2017, 08:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(a,b,c,d)=aE1+bE2+cE3+dE4 Wenn du das nicht verstehst, so liegt das daran, dass du bei der Definition der Basis ziemlich schlampig vorgegangen bist. Denke noch mal darüber nach. Wenn das nichts nützt, sag bescheid, dann erkläre ich dir alles kurz und knapp und vollständig. Im Prinzip bist du ja fertig, es geht allenfalls noch darum zu verstehen, warum das alles so funktioniert.
09.06.2017, 10:21	sieber33	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe hier nochmal ein Bild angehangen an dem ich mein Vorgehen und mein Problem nochmal veranschaulicht habe, ich begreife noch nicht in wiefern wir aus der (2x2) Matrix dann einen 4x1 Vektor machen. prntscr.com/fhpzod
09.06.2017, 11:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge $\begin{eqnarray} M_{2,2}(\mathbb R)=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\|a,b,c,d\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ ist ein Vektorraum, weil man je zwei Matrizen addieren kann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und jede Matrix mit jeder reellen Zahl $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ skalar multiplizieren kann $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ra & rb \\ rc & rd \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und es gelten alle Vektorraumaxiome. Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren, also sind die 2x2-Matrizen Vektoren. Statt $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt alles für jeden beliebigen Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Jeder Vektorraum hat eine Basis, das ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, und jeder Vektor hat eine eindeutige Darstellung als endliche Linearkombination von Basisvektoren. Eine Basis von $\begin{eqnarray} M_{2,2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} B=\{E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},E_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},E_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},E_4=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ , die Dimension von $\begin{eqnarray} M_{2,2}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ ist also gleich 4, und jeder Vektor hat eine eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=aE_1+bE_2+cE_3+dE_4 \end{eqnarray}$ . Bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind die Koordinatenvektoren der Basisvektoren immer die Standardbasis, denn $\begin{eqnarray} E_1=1E_1+0E_2+0E_3+0E_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},E_2=0E_1+1E_2+0E_3+0E_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},E_3=0E_1+0E_2+1E_3+0E_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},E_4=0E_1+0E_2+0E_3+1E_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und jeder Vektor hat eine eindeutige Darstellung als Koordinatenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=aE_1+bE_2+cE_3+dE_4=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} A_B^B \end{eqnarray}$ einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi:V\to V,x\mapsto \varphi(x)=A_B^Bx \end{eqnarray}$ bezüglich einer Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ eines n-dimensionalen Vektorraumes $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist immer eine nxn-Matrix und wirkt immer auf den Koordinatenvektoren $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , die die Vektoren in der Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ darstellen. Wie immer stehen in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren.

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