Zeige es ex. keine holomorphe Funktion mit folgender Eigenschaft

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Sabineee Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige es ex. keine holomorphe Funktion mit folgender Eigenschaft
Meine Frage:
Guten Tag zusammen.

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Zeige, dass es keine holomorphe Funktion mit und gibt.

Meine Ideen:
Ich habe jetzt mal einen Versuch gewagt mittels folgendem Korrolar aus unserem Skript (siehe Bild im Anhang) die Aufgabe zu lösen:



also

nun wäre

und somit auch
allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich dieses Korrolar überhaupt anwenden darf, da ich ja nichts über den Konvergenzradius R weiß, welcher hier laut vorraussetzung ja größer 0 sein muss...

Hat jemand ne Idee ob dies trotzdem richtig ist oder wie ich vielleicht noch nen einfacheren Beweis hinbekommen könnte?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das Korollar komplett falsch verstanden. Das sagt nur aus, dass die Koeffizienten einer Potenzreihenentwicklung eindeutig definiert sind und ueber die Funktions- bzw. Ableitungswerte von hervorgehen.

Ferner gibt es holomorphe Funktionen mit den Eigenschaften. Schluessel hier ist also, dass die gesuchte Funktion selbst im Betrag durch 1 beschraenkt ist. Und das sollte eine einfache Anwendung vom Lemma von Schwarz-Pick sein. Siehe Wikipedia.
Sabineee Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Gott ich hab da was ganz schön durcheinander gebracht unglücklich

Aber danke für den Tipp mit dem Lemma von Schwarz, habe da eine Abschätzung für die Ableitung durch Caratheodory in unserem Skript gefunden, durch deren Anwendung ist dies dann auch zu lösen (siehe Bild). Hier sollte es doch ausreichen beide Werte in gegebene Ungleichung einzusetzen und mit dem damit erhaltenen Wiederspruch zu argumentieren oder?

Sorry war vorhin ziemlich durcheinander Hammer
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abschaetzung ist zu schwach. Sie benutzt nicht, dass [l]f/l] an der Stelle bereits einen recht hohen Funktionswert hat. Caratheodorys Abschaetzung gibt nur Informationen ueber die Ableitung an.
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