Integral berechnen: Bin ich auf dem richtigen Weg?

08.06.2017, 21:20

Matthi

Integral berechnen: Bin ich auf dem richtigen Weg?

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

mir macht ein Integral, welches ziemlich simpel aussieht, große Schwierigkeiten. Zu lösen ist folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int \! \frac{1-sin(t)}{cos(t)} \, dt \end{eqnarray*}$
wobei cos(t) nicht Null werden kann

Später noch berechnet werden : $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/2} F(x) \end{eqnarray*}$

Ich habe zwei unterschiedliche Wege um diese Integral zu lösen. Vorab : bitte NICHT die Lösung verraten. Ich möchte unbedingt selber drauf kommen. Es wäre sehr hilfreich, wenn ihr mir sagen würdet ob ich auf dem richtigen Weg bin.

Meine Ideen:
---- WEG#1 ----

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int \! \frac{1-sin(t)}{cos(t)} \, dt = \int\! \frac{-sin(t)}{cos(t)}+\frac{1}{cos(t)} \, dt =ln(|cos(t)|)+c+\int \! \frac{2}{e^{jt}+e^{-jt} } \, dt \end{eqnarray*}$

Substituiert man nun $\begin{eqnarray*} z=e^{jz} \Rightarrow dz/dt=j e^{jz} \end{eqnarray*}$

so folgt dann :
$\begin{eqnarray*} F(x)= ln(|cos(t)|)+c+\int \! \frac{2}{j} \frac{1}{z+\frac{1}{z}} \, \frac{dz}{z} =ln(|cos(t)|)+c+\frac{2}{j}\int \! \frac{1}{z^{2}+1} \,dz \end{eqnarray*}$

Und somit ist die Stammfunktion dann:

$\begin{eqnarray*} F(x)=ln(|cos(t)|)-2j arctan(z)+ c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=ln(|cos(t)|)-2j arctan(e^{jt})+c \end{eqnarray*}$

Das sieht mir irgendwie zu kompliziert aus .. Habe ich alles richtig gemacht ? Wie soll man denn jetzt den Grenzwert vom arctan(e^jt) bilden !?! Würde mich über einen Hinweis freuen.

---- WEG#2 ----

Ansatz über Halbwinkelmethode:
$\begin{eqnarray*} F(x) = \int \! \frac{1-sin(t)}{cos(t)} \, dt = \int \! \frac{1-\frac{2z}{1+z^{2}}}{\frac{1-z^{2}}{1+z^{2}}} \, \frac{2}{1+z^{2}}dz = 2\int \frac{z^{2}-2z+1}{1-z^{2}}\frac{1}{1+z^{2}}dz = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\int\frac{(z-1)^{2}}{1-z^{4}}dz = 2\int\frac{(z-1)^{2}}{(1-z)(1+z)(1+z^{2})}dz = -2\int\frac{z-1}{(1+z)(1+z^{2})}dz \end{eqnarray*}$

Nach Partialbruchzerlegung:

$\begin{eqnarray*} -2\int\frac{-1}{z+1}+\frac{\frac{1}{2}}{z+j}+\frac{\frac{1}{2}}{z-j}dz \end{eqnarray*}$

Somit lautet die Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} F(x)= -2(ln(|z+1|)+ln(|z-j|)) \end{eqnarray*}$

Auch hier die Frage : bin ich auf'm Holzweg ? Wie soll man den Grenzwert bilden?

Würde mich über Antworten freuen.

Viele Grüße,
Matthi

08.06.2017, 21:31

mYthos

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Sollte nicht F(t) anstatt F(x) stehen?

mY+

08.06.2017, 21:36

Matthi

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Ach .. Sorry .. Tippfehler ! Hast Natürlich recht.

08.06.2017, 21:47

HAL 9000

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Es geht auch einfacher: Erweitern mit $\begin{align*} 1+\sin(t) \end{align*}$ unter Berücksichtigung von $\begin{align*} 1-\sin^2(t)=\cos^2(t) \end{align*}$ ...

EDIT: Ok, Ok.

08.06.2017, 21:50

mYthos

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Dann ist alles weitaus viel zu kompliziert, das wird sich wahrscheinlich niemand ansehen!
-----------
Verwende einfach $\begin{eqnarray*} \int \frac {F'(x)}{F(x)} \dd x = \ln (F(x)) \end{eqnarray*}$

EDIT: Da ist jetzt HAL dazwischen gekommen, der ist einfach zu schnell Big Laugh

Zu diesem Trick wollte ich danach hinführen, aber nicht alles gleich verraten!

mY+

08.06.2017, 23:20

Matthi

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Zitat:

Original von mYthos
Dann ist alles weitaus viel zu kompliziert

Da hab ich mir wirklich soooo viel Mühe gegeben und Ehrgeiz rein gesteckt. Schade.

ich werde es gleich morgen mal mit dem Hinweis von HAL versuchen. Werde dann Rückmeldung geben wenn es geklappt hat.

Vielen dank euch beiden smile

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