Fast sichere Gleichheit

09.06.2017, 12:03	57BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast sichere Gleichheit Hallo zusammen, folgende Behauptung möchte ich zeigen: Sei $\begin{eqnarray} (B_t)_{t\ge 0} \end{eqnarray}$ Standard Brownsche Bewegung. Zeige $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! I_{(-\epsilon,\epsilon)}(B_r) \, dr = \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb P -f.s. \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist also $\begin{eqnarray} \mathbb P \left( \int_{0}^{\infty } \! I_{(-\epsilon,\epsilon)}(B_r) \, dr = \infty \right) =1 \end{eqnarray}$ Die Pfade der BB sind ja stetig, aber die Indikatorfunktion nicht. Damit kann ich nicht den Satz von Fubini anwenden. Wie kann ich anfangen?
09.06.2017, 13:53	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fast sichere Gleichheit Und wieder, ich bin kein Experte. Ist die BB nicht rekurrent für jedes $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ , also insbesondere für die Null? Falls ja, dann sollte das so gehen: Es bezeichnen $\begin{eqnarray} \delta_j \end{eqnarray}$ die Länge des Intervalls $\begin{eqnarray} I_j \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1_{(-\epsilon,\epsilon)}(B_k)=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k \in I_j \end{eqnarray}$ und den Rückkehrzeitpunkt zur Null $\begin{eqnarray} j \in \mathbb R_+ \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} B_j=0 \end{eqnarray}$ . Dann würde mit der Rekurrenz und der Stetigkeit der Brwonschen Bewegung folgen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! 1_{(-\epsilon,\epsilon)}(B_r) \, \mathrm dr = \sum_{j=1}^\infty \delta_j = \infty \end{eqnarray}$ Nochmals, bin kein Experte .

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