Reihendarstellung der Exponentialfunktion

09.06.2017, 21:41

MathNoob28

Reihendarstellung der Exponentialfunktion

Bei der Herleitung der Reihendarstellung der Exponentialfunktion auf folgender Seite: verstehe ich folgenden Schritt nicht:https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3...nentialfunktion
$\begin{eqnarray*} (i+1) a_{i+1}=a_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} a_{i+1} = \frac{1}{i+1!} \end{eqnarray*}$

Wo kommt die Fakultät her?

09.06.2017, 22:28

HAL 9000

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Nicht $\begin{eqnarray*} a_{i+1} = \frac{1}{i+1!} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} a_{i+1} = \frac{1}{(i+1)!} \end{eqnarray*}$ ist richtig - die Klammern sind hier unverzichtbar!

Mit geübten Blick erkennt man sofort, dass dies aus der rekursiven Darstellung folgt:

$\begin{align*} a_{i+1} = \frac{a_i}{i+1} = \frac{a_{i-1}}{i(i+1)} = \frac{a_{i-2}}{(i-1)i(i+1)} = \ldots = \frac{a_0}{1\cdot 2\cdot \ldots\cdot i\cdot (i+1)} \end{align*}$

Das ganze ist auch ohne "..." per Vollständiger Induktion nachweisbar, mitunter sieht man das als seriöser an. Augenzwinkern

09.06.2017, 22:47

MathNoob28

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Danke HAL

Du hast den geübten Blick auf alle Fälle Freude

10.06.2017, 00:28

MathNoob28

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Auf der gleichen Seite verstehe ich folgendes nicht:

Zitat:

Betrachten wir nun die Gleichungen mit den Koeffizienten vor den $\begin{eqnarray*} x^i \end{eqnarray*}$ , stellen wir jedoch fest, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gelten muss. Denn der Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ in der Ableitung von f ist gleich 0 . Nun haben wir ein Problem. Egal, welches Polynom f wir wählen, wir bekommen nie eine Lösung unseres Problems. Daher müssen wir unseren Ansatz ein wenig modifizieren. Wenn der Grad des Polynoms n größer wird, scheint unsere Annäherung immer besser zu werden.

1.) Warum ist a_n=0? Weil es in der Ableitung einfach nicht vorkommt, also auch kein x^n?

2.) Wo ist das Problem dann, dass a_n=0 ist. Anscheinend fehlt mir irgendwo das Verständnis unglücklich

10.06.2017, 08:19

HAL 9000

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Ich nehme an, dass $\begin{align*} a_n \end{align*}$ ein Koeffizient, also eine Zahl sein soll. In dem Zusammenhang ist eine Formulierung wie "dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gelten muss" himmelschreiender Blödsinn.

Überhaupt verstehe ich nicht, wie du erwarten kannst, dass wir zu einem aus einem unverzichtbaren Kontext herausgerissenen Satz irgendwas sagen sollen. unglücklich

EDIT: Ach, du zitierst immer noch aus dem obigen Wiki-Artikel, und das leider verstümmelt: Z.B. hast du hier die wesentliche Information weggelassen, dass dort zunächst mit einem Polynom- statt einem Reihenansatz gearbeitet wird.

10.06.2017, 11:32

MathNoob28

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Tut mir leid. Ich beziehe mich immer noch auf diese Seite. Häte ich besser ersichtlich machen sollen.
Ok, wie du sagst, geht man erst von einem Polynomansatz aus vom Grad n und lässt später das n gegen unendlich gehen für eine bessere Annäherung. Was hat das aber dann mit dem a_n zu tun?
Was hilft es wenn es für n gegen unendlich gegen 0 geht?

10.06.2017, 11:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von MathNoob28
Was hat das aber dann mit dem a_n zu tun?

Bei einem Polynomansatz hat dieses Polynom einen Grad (= maximaler Exponent), und im vorliegenden Ansatz ist das eben $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , d.h., das Polynom ist $\begin{eqnarray*} f(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n \end{eqnarray*}$ mit Ableitung $\begin{eqnarray*} f(x) = a_1 + 2a_2x + \ldots + na_nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Und das bedeutet, es gibt keine Potenzen mit Exponent $\begin{eqnarray*} >n-1 \end{eqnarray*}$ in der Ableitung, entsprechend sind die Koeffizienten für $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ und höhere Potenzen da gleich Null - nichts anderes steht dort in diesem Absatz.

Zitat:

Original von MathNoob28
2.) Wo ist das Problem dann, dass a_n=0 ist. Anscheinend fehlt mir irgendwo das Verständnis unglücklich

Das Problem ist, dass wir doch eben erst von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ startend $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ nachgeweisen haben, und das ist ungleich Null - hast du das nach so kurzer Zeit schon wieder vergessen? Sehr schlechtes Kurzzeitgedächtnis. unglücklich

10.06.2017, 12:16

MathNoob28

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Nein habe ich nicht vergessen Big Laugh

Ich meine, was bringt es, dass a_n gegen 0 geht für n gegen unendlich?

10.06.2017, 14:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von MathNoob28
Ich meine, was bringt es, dass a_n gegen 0 geht für n gegen unendlich?

Nicht sonderlich viel. Die Frage ist, warum du dich an solchen unwichtigen Formulierungen aufhältst - mach einfach weiter!

Das wesentliche ist doch: $\begin{align*} f'(x)=f(x),\;f(0)=1 \end{align*}$ besitzt keine Polynomlösung, wohl aber eine Lösung in Reihendarstellung $\begin{align*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \end{align*}$ . Dann wird noch diskutiert, für welche $\begin{align*} x \end{align*}$ diese Reihe konvergiert usw.

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