Dichte einer Vorgegeben gleichverteilte ZV für eine andere ZV verändern

10.06.2017, 09:32

mathrac

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Dichte einer Vorgegeben gleichverteilte ZV für eine andere ZV verändern

Meine Frage:
Hallo ihr lieben,
ich tue mich mit nichtlinearen Transformationen noch ziemlich schwer, weshalb ich fragen wollte, ob jemand mir helfen kann, ob ich dies wirklich richtig verstanden habe:

An einem Bsp. :

Es sei X eine auf (0,1] gleichverteilte ZV. Bestimmen Sie die Dichte von X^2

Meine Ideen:
Dies würde doch gerade bedeuten das X~uniform(0,1) ist.
Also ist 1/0-1 = -1 die dicht für das Intervall (0,1].

Das würde bedeuten f(x) = {-1 für 0<x<=1, 0 sonst}.
Wie würde man dann weiter gehen? Einfach die Verteilungsfunktion bilden, für x den passenden Wert einsetzen und dann ableiten oder anders? Ich verstehe das nicht wirklich :/.

10.06.2017, 09:41

SHigh

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RE: Dichte einer Vorgegeben gleichverteilte ZV für eine andere ZV verändern

Zitat:

Also ist 1/0-1 = -1

Seit wann gibt denn 1/0 = 0 ?!

Zitat:

die dicht für das Intervall (0,1].

Das verstehe ich leider nicht. Was ist "die"?

Zitat:

Das würde bedeuten f(x) = {-1 für 0<x<=1, 0 sonst}.

Ausserdem ist eine Dichte immer größer-gleich null.

10.06.2017, 09:47

mathrac

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Entschuldige ich habe die Klammerung vergessen: 1/(0-1) = 1/-1 = -1.
Die Dichte ist die Dichtefunktion für das Intervall (0,1].
Okay gut, wo ist dann der Denkfehler?

10.06.2017, 09:55

SHigh

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Die Dichte einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=1_{[a,b]}(x)\cdot \frac 1{b-a} \end{eqnarray*}$

Du hast a und b vertauscht.

Kommen wir zu der Verteilung von $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ . Betrachte doch mal die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in (0,1] \end{eqnarray*}$ und versuche, diese irgendwie mit der VF von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ darzustellen:

$\begin{eqnarray*} F_{X^2}(t)=P(X^2 \leq t)=\dots \end{eqnarray*}$

10.06.2017, 10:05

mathrac

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Okay, schon mal Danke!

Also

F_X^2 = P(X^2 <= t) = P(X <= sqrt(t)) = P(-sqrt(t) <= X <= sqrt(t)) und jetzt hätte ich gesagt

= P(-1 <= X/sqrt(t) <= 1)

und ab da fängt das Problem bei mir an, jetzt weiß ich nämlich nicht mehr weiter, bei einer Normalverteilten wäre das ja jetzt klar, aber so komme ich nicht weiter.

10.06.2017, 10:16

SHigh

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Versuch doch mal latex smile

smile

.

Zitat:

F_X^2 = P(X^2 <= t) = P(X <= sqrt(t))

Am Ende fehlen Betragsstriche. Die kann man aber weglassen (warum?) und damit gilt

$\begin{eqnarray*} F_{X^2}(t)=P(X^2 \leq t)=P(|X|\leq \sqrt t)\overset{warum}= P(X\leq \sqrt t)=F_X(\sqrt t) \end{eqnarray*}$

Dann folgt für die Dichte

$\begin{eqnarray*} f_{X^2}(t)=\frac {\mathrm dF_{X^2}}{\mathrm dt}(t)=\frac {\mathrm dF_{X}}{\mathrm dt}(\sqrt t)=\dots \end{eqnarray*}$

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10.06.2017, 10:30

mathrac

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Die kann man weg lassen, weil es streng mon. wächst?

Okay und danach um auf die Dichtefunktion zu kommen einfach die Kettenregel weiter verwenden. bzw. in das F einfach einsetzen und dann ableiten. Für x kleiner gleich 0 hätte ich dann dementsprechend raus und für das Intervall dementsprechend die Ableitung und für x größer gleich 1 dann dementsprechend 1?

10.06.2017, 10:33

SHigh

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Zitat:

Die kann man weg lassen, weil es streng mon. wächst?

Nein, wohl eher, weil X positiv ist....

Rechne doch einfach mal weiter (Kettenregel hört sich gut an).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_{X^2}(t)=\frac {\mathrm dF_{X^2}}{\mathrm dt}(t)=\frac {\mathrm dF_{X}}{\mathrm dt}(\sqrt t)=\dots \end{eqnarray*}$

10.06.2017, 10:54

mathrac

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Okay dann mache ich das mal:

10.06.2017, 11:01

Shig

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So ganz stimmt das nicht.

$\begin{eqnarray*} f_{X^2}(t)=\frac {\mathrm dF_{X^2}}{\mathrm dt}(t)=\frac {\mathrm dF_{X}}{\mathrm dt}(\sqrt t)=\frac 1{2\sqrt t}f_X(\sqrt t)=\frac 1{2\sqrt t}\cdot 1_{(0,1]}(\sqrt t)=\frac 1{2\sqrt t}\cdot 1_{(0,1]}(t) \end{eqnarray*}$ .

10.06.2017, 11:08

mathrac

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" $\begin{eqnarray*} f_{X^2}(t)=\frac {\mathrm dF_{X^2}}{\mathrm dt}(t)=\frac {\mathrm dF_{X}}{\mathrm dt}(\sqrt t)=\frac 1{2\sqrt t}f_X(\sqrt t)=\frac 1{2\sqrt t}\cdot 1_{(0,1]}(\sqrt t)=\frac 1{2\sqrt t}\cdot 1_{(0,1]}(t) \end{eqnarray*}$ .[/quote]"

Da habe ich wohl vergessen f(t) mit zu ziehen :/. Reicht es dann, wenn ich beim letzten Ausdruck schreibe: t/2*sqrt(t)?

10.06.2017, 11:17

SHigh

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Warum sollte da gelten?

Eine stetige Dichte muss zunächst mal auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert sein. Woher kommt denn da dein t im Zähler? Die Indikatorfunktion ist entweder Null oder Eins. Man könnte die Dichtefunktion auch so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} f_{X^2}(t)=\frac 1{2\sqrt t}\cdot 1_{(0,1]}(t)=\begin{cases} \frac 1{2\sqrt t}, & t \in (0,1] \\ 0, & sonst. \end{cases} \end{eqnarray*}$

Noch als Anmerkung: Bitte setzte doch wenigstens Klammern, wenn du schon latex verweigerst!

t/2*sqrt(t) ist nicht das selbe wie t/(2*sqrt(t)) !!!

10.06.2017, 11:22

mathrac

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Perfekt, ja die neue Schreibweise mir der Größen geschweiften Klammer ist mit vertrauter und auf die wollte ich hinaus. smile

smile

Ja, ich vergesse das immer irgendwie, ich verweigere LaTeX nicht. Ich kann die Syntax einfach noch nicht, aber das wird sich auch noch ändern! smile

smile

Ich danke dir vielmals! Jetzt habe ich zumindest mal mehr Klarheit und kann es besser nachvollziehen. smile

smile

10.06.2017, 11:28

SHigh

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Du schreibst doch schon fast perfekt für latex:

Wenn du das aus deinem Post von vorher einfach mal in Latex-Klammern setzt, passt das doch schon fast.

Zitat:

F_X^2 = P(X^2 <= t) = P(X <= sqrt(t)) = P(-sqrt(t) <= X <= sqrt(t))

$\begin{eqnarray*} F_X^2 = P(X^2 <= t) = P(X <= sqrt(t)) = P(-sqrt(t) <= X <= sqrt(t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{X^2} = P(X^2 \leq t) = P(X \leq \sqrt t) = P(-\sqrt t \leq X \leq \sqrt t) \end{eqnarray*}$

Für <= musst du \leq ("less or equal") setzten, ein "\" vor "sqrt" und die Klammern weg und fertig smile

smile

.

10.06.2017, 11:32

mathrac

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Dann werde ich das nochmal austesten Big Laugh

Big Laugh

10.06.2017, 14:05

mathrac

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Eine Frage hätte ich da aber noch, was wäre wenn ich jetzt hätte, dass X größer wäre? smile

smile

10.06.2017, 14:08

SHigh

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Ich verstehe leider nicht was du meinst. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (eine Zufallsvariable) größer als was?

10.06.2017, 14:16

mathrac

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Also wenn ich die Dichte für die ZV -ln(X) bestummen soll. dann bekomme ich beim Umstellen das X größer gleich exp(-t) ist.

10.06.2017, 14:25

HAL 9000

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Geh über das Komplement: $\begin{align*} P(X>c) = 1-P(X\leq c) = 1-F_X(c) \end{align*}$ .

Und für stetige Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ ist zudem $\begin{align*} P(X\geq c)=P(X>c) \end{align*}$ .

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